거리하$k$번째 가장 가까운 이웃을 효율적으로 임의적$k$

Question

문제입니다. 어 $X$ 유한 미터의 공간이티 $n$, 를 구성,데이터 구조에서 subquadratic 시간 이러한 쿼리 distance to the kth nearest neighbor of x 으로 해결할 수 있습니다 sublinear 시간(독립 $k$)에 대한 임의의 $k 배경$ 고 $x\X$.

내가 무엇을 시도했다. 나의 존재를 알고 있 kdtrees,볼 나무와 나무입니다.어떤 가정(는 내가 기꺼이),내가 알기에는 이러한 구조를 해결할 수 있습니다 쿼리 distance to the nearest neighbor of x 에 sublinear 시간(자주 $O(\로그(n))$어),하지만 나는 수 없었을 찾아 비슷한 결과 $k$th 가장 가까운 이웃을 위해 임의 $k$.

그것은 보인는 종종 중 하나에 관심이 $k$ 은 값에 비해 작 $n$, 고는,그러한 경우에,알고리즘에서 언급된 이전 단락이 적용할 수 있습의 비용으로 승법 상의 주문 $k$.내 문제는 나에 관심이 $k$ 는 값은 잠재적으로 순서 $n$.

Answer 1

에 대한 일반적인 미터,당신은 할 수 없습니다.예를 들어,하나 그것을 증명할 수 있는 적은 차 시간에 대답하 $\타(n)$ 쿼리에서 최악의 경우입니다.

예를 들어,우리는 $n/2$ 쿼리는 포인트는 모두에서 각각 기타,고 $n/2$ 대상 포인트입니다.우리는 우리 것에 대한 요청 $n/4$-일에 가장 가까운 이웃의 각 쿼리점입니다.다음 각 $d(q,t)$ 로 설정할 수 있는 거리에 $[1/2,1]$ 에 대한 각각의 $n^2/4$ 쌍의 쿼리점 $$q 과 목표점 $t$, 고,각각 독립적으로 선택될 수 있습,그리고 당신은 유효한 지표입니다.따라서 상상할 수 있는 거리에 의해 지정 $n/2\번 n/2$ 매트릭스의 거리 $d(q,t)$.에 $o(n^2)$ 시간이,당신만 읽을 수 있습니다 $o(n^2)$ 의 항목에서는 매트릭스는 충분하지 않습의 모든 답변을 쿼리를 처리합니다.당신이 증명할 수 있습니다와는 적대적인 인수:고려 모든 $$q 는 알고리즘을 읽기 $d(q,t)$ 에 대한 보다 적은 $n/4$ 다른 값의 $t$;그 어떤 출력 알고리즘으로 $n/4$번째 가장 가까운 이웃을 $$q, 배치할 수 있습니다 다른 읽지 않은 거리에는 알고리즘의 출력은 정확하지 않은 것입니다.