문제

내가 전체와 함께 양자 그래프 노트 $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ 고 $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$.각 노드에는 체중 $v_i$ 대 $a_i$ 고 $w_i$ 대 $b_i$.각 노드 $a_i$ 가 연결되어 있을 정확히 한 개의 노드의 $B$, 말 $b_j$, 를 통해,가장자리 $e_i$, 의 무게가 $\min(v_i,w_j)$.지금을 찾고 싶어 하나를 매핑에서 $달 하기 $B$, 그 합의 가장자리 무게로 가능합니다.

내 아이디어를 정렬 $v_i$s 점점 및 $w_i$s 감소 찾을 다음의 합계 모든 $\min(v_i,w_i)$ 후에 정렬됩니다.그것은 정확합니까?할 수 있는 증거를 제공/반증에?

나는 컴퓨터 시뮬레이션 $n=5,6,\ldots,10$ 임의의 정점은 무게 찾을 수 없 습.

도움이 되었습니까?

해결책

그것은 당신의 아이디어에서 어떤 무작위 샘플입니다.

왜 당신의 아이디어 작동,저희가 찾는 가장 간단하지만이 아닌 사소한 경우 그리고 그것을 보십시오.단순성과려 wlog,의 무게 노드를 나타내는 데 사용되는 노드입니다.는 경우,예를 들어, $달 담고 있는 노드를 체중 $42$, 는 노드가 될 것이라고 노드에 42.

의 경우 $n=1$ 사소한입니다.

자 $n=2$.우리가 일어나 보기 $A=\{1,2\}$ 고 $B=\{3,4\}$, 다음,그러나 우리가 선택한 매핑을 합치 $1+2=3$.이 예제가 분명하지 않습니다.

는 방법에 대 $A=\{1,3\}$ 고 $B=\{2,4\}$?

  • 는 경우에는 1 2 3 4,합계 $\min(1,2)+\min(3,4)=1+3=4$.
  • 는 경우에는 1 4 3 2 개,합계 $\min(1,4)+\min(3,2)=1+2=3$.

그래서 이 아닌 사소한 예입니다.지금 우리가 물어야 하는 기본적인 질문 유 가 두 번째로 선택을 생산하는 작은 합계는?

질문에 대답하기 위해,우리가 해야하는 방법을 관찰 그 두 합니다.1 에 나타납니다 모두 금액입니다.는 우연?잠시 생각하고 당신은 그것을 알지 않습니다.1 의 최소 숫자는 모든 숫자입니다.그래서 무엇이든 그것이 연결되어,그것은 선택의 중량으로 연결합니다.

즉,어떤 숫자 1 연결되어 있는 3 이 경우에는 그 수는 누락에서 나중에 계산,즉,그것은 것입니다"낭비".더 큰"폐기물",나머지 숫자가 될 것이며,따라서 적은량의 나머지 연결을 생성,기능 이후 $\min(\cdot,\cdot)$ 은 감소와 관련된 변수입니다.그래서 1 에 연결되어 있어야 큰 숫자로 가능합니다.그 유 1 연결하는 4 대 3 의 생성하도록 최소한 총 합계입니다.

의 경우에는 $n=2$, 에,두 개의 선택의 매핑을 사용합니다.하나의 작은 수 $달 매핑되는 작은 수 $B$, 더빙,"앞으로 매핑"또는 더 큰 번호 $B$, 불리는"반전 매핑".을 매핑을 생성 작은 총 무게,우리는 항상 선택해야 한다"반전 매핑",그래서는 큰 숫자를 낭비되는 것입(또는,무엇이 같은 작은 수로 유지됩 사용할 수 있습니다.)

을 증명하는 당신의 아이디어가 올바른지,우리는 첫 공연을 위해 그 어떤 매핑에서 $달 하기 $B$, 가 매핑 지도 $\min(A)$ 하기 $\max(B)$ 으로 더 큰 총 무게.가정 지도 $$f 지도 $\min(A)$ 일 $b_j$ 고 몇 번호 $a_i$ 하기 $\max(B)$.그런 다음 우리가 만들 수 있습니다 다른 지도 $f$, 는 동일 $$f 를 제외하고 이러한 4 번호 $f$ 지도 $\min(A)$ 하기 $\max(B)$ 고 $a_i$ 하기 $b_j$.이후,우리가 다음과 같이,위의를 위해 네 번호 $\min(A),a_i$ 고 $b_j$, $\max(B)$, 우리가 $$\min(\min(A),\max(B))+\min(a_i,b_j)\le\min(\min(A),b_j)+\min(a_i,\max(B)),$$ 의 총 중량 $f$ 보다 더 크지 못하는 것의 $$f.

그래서,우리가 알고 있는

  • 최소 총중량에서 제공하는 매핑 지도 $\min(A)$ 하기 $\max(B)$.
  • 모든 매핑 지도 $\min(A)$ 하기 $\max(B)$, 최소 총 무게가에서,동일한 인수를 매핑하는 지도 최소한의 나머지 숫자 $달 (i.e두번째 최소 번호 $달 용)는 최대의 나머지 숫자 $B$ (즉,최소한 두 번째 번호 $B$).
  • 모든 매핑 지도 $\min(A)$ 하기 $\max(B)$ 그리고 두 번째 최소 번호 $달 두 번째는 최대 수 $B$, 최소 총중에서 매핑을지도 세번째 최소 번호 $달 세 번째에서 최대 수 $B$.
  • 그래서 마지막까지 최소 번호 $달 매핑을 마지막에서 최대 수 $B$, 즉,에서 최대 수 $달 매핑되는 최소한의 번호 $B$. $\체크$

더 많은 공식적인 증거를 주어질 수 있었습니다.그러나,위의 추론 보다 쉽게 이해할 수 있습니다.그것은,나는 생각이 납득시키는 평범한 인간이 아니었습니다.

여기에는 다른 간단한 방법을 증명하는 당신의 아이디어.

먼저 모든 숫자는 별개입니다.우리 것을 증명해본주들은 실제 인물들이 아니다.가정한 최소한의 총 중량에 의해 도달 할 수 있습 mapping $g$ 이외의 다른 매핑에서 설명한 당신의 생각이 아니다.다음 $g$ 이 포함되어야 합 sub-매핑은"앞으로 매핑",i.e.,이 있어야 합 두 번호 $\alpha_1\lt\alpha_2$ 에 $달 두 번호 $\beta_1\lt\beta_2$ 에 $B$ 러 $g(\alpha_1)=\beta_1$ 고 $g(\alpha_2)=\beta_2$.

지금 우리가 만들 수 있습니다 또 다른 매핑 $g$ 과 동일 $g$ 다른 곳에서 제외하고는 하위의 매핑 $g$ 에 $\alpha_1$ 고 $\alpha_2$ 은"반전 매핑",즉 $g'(\alpha_1)=\beta_2$ 고 $g'(\alpha_2)=\beta_1$.이제 우리가 할 수 있습니다,전하는지 확인 총 중량의 $g$ 는 그 보다 더 작은 $g$, 모순되 우리의 가정입니다.

는 경우 모든 숫자는지 명백한,우리의 기술을 사용하여 접근을 제한.교란 모든 숫자는 약간 그래서 그들은 다릅니다.지금은 모든 것이 다 떨어져의 원래 있습니다.는 것을 의미하는 총량에서 얻을 당신의 아이디어야에서 최적의 솔루션을 제공합니다.자 섭동 가로,우리는 그것은,사실은 최적의 솔루션을 제공합니다.

에 관심이 있을 수도 있습니다 비슷한 문제 을 증명하는 방법은 욕심이 알고리즘을 최소화하는 최대의 합의 페어링.

다른 팁

여기에서 가장 좋은 해결책은이 그래프에서 최소한의 최대 흐름 알고리즘을 사용하고 있다고 생각합니다.당신이 그것에 대해 모르는 경우, 그것에 대해 읽고 읽으십시오.이 알고리즘은 이러한 종류의 문제에 가장 고전적인 솔루션입니다.

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