동등한 복잡성 기능이있는 BIG-O의 합계 규칙?

Question

Big-O-notation의 한 속성은 합계 규칙 입니다. $ F_1 $ 및 $ F_2 $ 및 해당 복잡성 함수가 $ g_1 $ 및 $ g_2 $ , 결합 된 복잡성은 $ F_1 + F_2= O (\ max (g_1, g_2)) $ .

그러나 복잡성 기능이 모두 동일한 경우 우리는 무엇을 선택합니까? 예를 들어, $ F_1 (n) $ 이 배열 및 $ _ F2 (m) $ 또한 복잡성은 $ o (n \ log (n)) $ 및 $ o (m \ log (m) m)) $ . 규칙을 적용하면 $ o (\ max (n \ log (n), m \ log (m))) $ 입니다. 나는 그것들 중 하나를 선택하면 하나의 변수를 떨어 뜨릴 때 마찬가지로 유효하지만 매우 일심적인 추정을 산출 할 것이라고 생각한다. 게다가, 어느 것이 당신을 선택하는지 분명하지 않습니다.

에는 여러 변수가 관련된 경우 규칙을 사용하지 않아야하는 경우입니까?

Answer 1

다른 변수가 다른 변수에 종속되거나 문제의 매개 변수로 주어지면 의존합니다. 예를 들어 많은 그래프 관련 문제에서 $ n $ 은 꼭지점 수와 $ m $ 가장자리 수는 수 있습니다. 이 경우 $ m $ 은 $ o (n ^ 2) $ 만큼 크게 될 수 있습니다. 따라서 일반적인 경우에는 $ o (n) $ 및 $ o (m) $ 우리는 단순화하려고 시도하지 말고 단순화하려고하지 않습니다 --- 최종 런타임은 $ o (n + m)입니다. $ .

반드시 관련이 아닌 매개 변수로 주어진 여러 변수의 관점에서 : 최종 방정식 내에 여러 변수가 표준 인 것입니다. $ m \ times n $ 매트릭스와 $ n \ times p $ 매트릭스를 곱한다고 말할 수 있습니다. $ o (MNP) $ - 학교 책 곱셈을 사용하여 시간을 가져 오거나, 배낭 문제를 해결하기 $ o (nt) $ < / span> -Time $ n $ 은 항목 수와 $ T $ 은 목표 합계입니다 .

평면 그래프와 다른 스파 스 그래프와 같은 특별한 경우, 우리는 $ m= o (n) $ 을 안전하게 대체 할 수 있음을 알고 있습니다. Math-Container "> $ N $ 은 단순화를 위해 최종 실행 시간에 $ M $ 대신에 있습니다.

Dridress로서, 이것은 스파 스 그래프 ( $ m= o (n) $ )에 이유를 루프에서 사용하는 것을 선호하는 이유를 보여줍니다. 쌍 짧은 경로 (floyd-warshall과 같은 전이 폐쇄 기반 알고리즘과는 대조적으로); 이제 Dijkstra는 $ o (m \ log n)= o (n \ log n) $ 에서 루프에서 dijkstra를 사용하는 전반적인 복잡성이 $ o (n ^ 2 \ log n) $ 은 floyd-warshall보다 낫습니다. 대조적으로 Dijkstra는 $ m \ log n $ 에 대해 $ m= o (n ^ 2) $ 은 최악의 실행 시간면에서 Floyd-Warshall보다 효율적이됩니다.

다른 경우에는 변수가 주어진 파라미터에 의해 다수로 경계가 없을 수 없을 수 있습니다. 위의 배낭 예제를 취하는 경우 $ T $ 이 될 수 있습니다. $ n $ .

Answer 2

일반적인 대답이 없습니다.그런데 $ o (\ max (n \ log (n), m \ log (m))) $ 을 단순화하려는 경우 다시 작성할 수 있습니다. $ o ((n + m) \ log (n + m)) $ .

$ g_1 $ 및 $ g_2 $ 은 eqaul과 증가 함수를 쓸 수 있습니다. $ o (g_1 (n + m)) $ o (\ max (g_1 (n), g_2 (m))) $

Answer 3

정의 $ o (g) $ 은 $ o를 고려해 보는 것과 관련하여 항상 변수 및 한도 지점을 정의해야합니다. $ . 예를 들어 $ o (n ^ 3), n \ to \ infty $ 변수는 $ n $ 및 제한 지점 $ \ infty $ . $ o (x ^ 3), x \ 0 $ 변수는 $ x $ 및 한계점입니다. $ 0 $ .

$ f= o (g) $ 을 작성하면 공식적으로 우리는 몇 가지 변수와 한계점을 의미합니다. 예를 들어 $ F (n)= o (g (n)), n \ to \ infty $ 은 정확한 기록입니다. $ f (m)= o (g (m)), m \ infty $ 은 이전 문장과 똑같은 것을 의미합니다.

Property $ F_1 + F_2= O (\ max (g_1, g_2)) $ 에 대해서는 여기에서 여기에서 일부 변수를 명시해야합니다 (s ) 및 일부 제한 지점. 정확한 기록은 뭔가 여야합니다 $$ F_1 (n) + F_2 (n)= o (\ max (g_1, g_2) (n), n \ to \ infty $$ 또는 한계점 $ \ infty $ 을 가정하여 변수와 관련하여 더 명확한 설명이 필요합니다.