잔여 그래프에서의 흐름을위한 보조 정장 증명

Question

CLRS 3'RD Edition은 다음과 같이주는 lemma 26.2가 있습니다 :

$ g= (v, e) $ 흐름 네트워크가되어 $ f $ $ G, $ 및 $ p $ $ g_ {f} $ . 함수 $ F_ {p} \ 콜론 v \ times v \ volvewarl \ mathbb {r} $ $$ F_ {p} (u, v)=left \ {\ begin {array} {ll} c_ {f} {ll} c_ {f} (p) & \ text {if} (u, v) \ 텍스트 {on} p \\ 0 & \ text {그렇지 않으면} \ end {array} \ right. $$ 그런 다음 $ F_ {p} $ 은 $ g_ {f} $ 의 흐름입니다. class="수학 용기"> $ \ left | f_ {p} \ right |= c_ {f} (p)> 0 $

어떻게 이것을 증명할 것으로 보입니까?

Flow Conservation 및 Capacity Constraint를 확인해야합니다. 우리는 $ C_F (P) $ 은 경로 $ p $ 의 잔여 용량의 최소값입니다. 용량보다 작 으면 용량 제약이 만족됩니다. 그러나 흐름 보전 제약 조건은 어떻게 $ C_F (P)> 0 $

을 나타냅니다.

Answer 1

$ v $ 이 $ p $ 의 정점이 아닌 경우 $ F_P (u, v)= 0 $ . $ v $ 이 $ p $ 이 아니라 소스 나 싱크가 아닌 경우 두 개만 있습니다. 정점 $ v_1 $ 및 $ v_2 $ 에지 $ (v_1, v), (v, v_2) $ 은 $ p $ 에 있습니다. 따라서 $ v $ $$ \ SUM_U F_P (u, v) $$ $ F_P (V_1, v)= C_F (P) $ 및 $ F_P (V_2, v)= - F_P (V, V_2)= - C_F (P) $ .

그래서 초과 흐름은 0입니다.

$ C_F (P)> 0 $ 을 확인하십시오. $ P $ . $ P $ 및 증강 경로의 정의에 따르면 가장자리가 많은 모서리가 있습니다. 가장자리의 잔류 용량은 양수입니다. 따라서, 당신은 최소한 많은 양수 숫자를 섭취하고 있습니다. 이는 양수를 가져옵니다.