지수 이동 평균은 다양한 시간에 샘플링되었습니다

https://stackoverflow.com/questions/1023860

06-07-2019
|

문제

계산하고 싶은 연속 가치가 있습니다. 지수 이동 평균. 일반적으로 나는 이것에 대한 표준 공식을 사용합니다.

에스_N = αy + (1-α) s_N-1

어디서_N 새로운 평균, α는 알파, y는 샘플, S입니다._N-1 이전 평균입니다.

불행히도 다양한 문제로 인해 일관된 샘플 시간이 없습니다. 예를 들어, 밀리 초당 한 번 한 번 샘플링 할 수 있다는 것을 알 수 있지만 제어 할 수없는 요인으로 인해 한 번에 몇 밀리 초 동안 샘플을 섭취하지 못할 수 있습니다. 그러나 더 일반적인 경우는 0, 1 및 2ms에서 샘플링하는 대신 조금 일찍 또는 늦게 샘플링하는 것입니다. 나는 0, 0.9 및 2.1ms에서 샘플링합니다. 지연에 관계없이 샘플링 주파수가 Nyquist 한계보다 훨씬 높을 것이므로 별명에 대해 걱정할 필요가 없습니다.

나는 마지막 샘플 이후의 시간에 따라 알파를 적절하게 변화시킴으로써보다 합리적인 방식으로 이것을 다룰 수 있다고 생각합니다.

이것이 효과가있을 것이라는 추론의 일부는 EMA가 이전 데이터 포인트와 현재 데이터 점 사이에서 "선형 적으로 보간"된다는 것입니다. 간격 t : [0,1,2,3,4]에서 다음 샘플 목록의 EMA를 계산하는 것을 고려하는 경우. Interval 2T를 사용하면 입력이 [0,2,4]가되는 경우 동일한 결과를 얻어야합니까? EMA가 T.₂ 값은 t 이후 2였다₀, 그것은 [0,2,2,4,4]에서 계산하는 간격 t 계산과 동일합니다. 아니면 전혀 의미가 있습니까?

누군가 알파를 적절하게 변화시키는 방법을 말해 줄 수 있습니까? "당신의 일을 보여주세요." 즉, 당신의 방법이 실제로 옳은 일을하고 있음을 증명하는 수학을 보여주세요.

해결책

이 답변은 저역 통과 필터 ( "지수 이동 평균")에 대한 나의 이해를 기반으로 한 것이 실제로 단일 극단로드 패스 필터 일뿐입니다). 나는 다음이 당신이 원하는 것이라고 생각합니다.

먼저 방정식을 약간 단순화 할 수 있습니다 (더 복잡해 보이지만 코드에서는 더 쉽습니다). 출력에는 "y", 입력에는 "x"를 사용하겠습니다 (출력의 경우 S 대신, 입력의 경우 y 대신).

와이_N = αX + (1-α) y_N-1 → y_N = y_N-1 + α (x -y_N-1)

어떤 코드 :

 Y += alpha * (X-Y);

둘째, 여기서 α의 값은 "동일"합니다.^-ΔT/τ 여기서 ΔT는 샘플 사이의 시간이고 τ는 저역 통과 필터의 시간 상수입니다. ΔT/τ가 1에 비해 작을 때 잘 작동하고 α = 1-E가 잘 작동하기 때문에 인용문에서 "동일"이라고 말합니다.^-ΔT/τ ≈ ΔT/τ. (그러나 너무 작지 않음 : 양자화 문제를 해결할 수 있으며, 이국적인 기술에 의지하지 않으면 일반적으로 상태 변수에서 N = -log에 추가 N 비트의 해상도가 필요합니다.₂(α). ) ΔT/τ의 더 큰 값의 경우 α가 1에 가까워지고 기본적으로 입력을 출력에 할당하는 지점에 도달 할 때까지 필터링 효과가 사라지기 시작합니다.

이것은 다양한 ΔT 값으로 올바르게 작동해야합니다 (알파의 변형은 알파가 작다면 그다지 중요하지 않습니다. 그렇지 않으면 다소 이상한 nyquist 문제 / 앨리어싱 / 등에 실행됩니다). 곱셈이 나누기보다 저렴하거나 고정점 문제가 중요하시면 ω = 1/τ를 미리 계산하고 α의 공식을 근사화하려고 노력하는 것을 고려하십시오.

공식을 도출하는 방법을 정말로 알고 싶다면

α = 1-e^-ΔT/τ

그런 다음 미분 방정식 소스를 고려하십시오.

y + τ dy/dt = x

X가 단위 단계 함수 인 경우 솔루션 y = 1 -E가 있습니다.^-t/τ. ΔT의 작은 값의 경우, 유도체는 ΔY/ΔT에 의해 근사 될 수 있으며,

y + τ Δy/Δt = x

Δy/Δt = (xy)/τ

Δy = (xy) (Δt/τ) = α (xy)

및 α = 1-e의 "외삽"^-ΔT/τ 동작을 단위 단계 함수 케이스와 일치 시키려고합니다.

다른 팁

여기를 살펴보십시오 : http://www.eckner.com/research.html

두 번째 링크를보십시오 : ""고르지 않게 경주 된 시계열에 대한 알고리즘 : 이동 평균 및 기타 롤링 연산자 "

이 문서는 필요한 프로그래밍 알고리즘을 정확하게 설명합니다.

이것은 완전한 대답은 아니지만 시작일 수 있습니다. 내가 이것으로 한 시간 정도 연주하는 한 멀리 떨어져 있습니다. 나는 그것을 내가 찾고있는 것의 예로 게시하고있을 것입니다. 아마도 문제를 해결하는 다른 사람들에게 영감을 줄 것입니다.

나는 s로 시작한다₀, 이전 평균 s에서 발생하는 평균입니다._-1 그리고 샘플 y₀ t에서 촬영₀. (티₁ -T₀)는 샘플 간격이며 α는 해당 샘플 간격에 적합한 것과 평균을 원하는 기간으로 설정됩니다.

T에서 샘플을 놓치면 어떻게되는지 고려했습니다.₁ 대신 샘플 y와 관련이 있어야합니다.₂ t에서 촬영₂? 글쎄, 우리는 방정식을 확장하여 우리가 Y가 있었다면 무슨 일이 있었는지 확인할 수 있습니다.₁:

에스₂ = αy₂ + (1-α) s₁, 어디서 s₁ = αy₁ + (1-α) s₀

대체 :

에스₂ = αy₂ + (1-α) (αy₁ + (1-α) s₀)
에스₂ = αy₂ + (1-α) αy₁ + (1-α) (1-α) s₀
에스₂ = αy₂ + (1-α) αy₁ + (1-α)²에스₀

나는 우리가_N 오른쪽에서 무기한 :

에스₂ = αy₂ + (1-α) αy₁ + (1-α)²(αy₀ + (1-α) s_-1)
에스₂ = αy₂ + (1-α) αy₁ + (1-α)²αy₀ + (1-α)³에스_-1
등.

좋아, 그래서 그것은 실제로 다항식이 아니지만 (어리석은 나), 초기 용어를 하나씩 곱하면 패턴이 보입니다.

에스₂ = (1-α)⁰αy₂ + (1-α) αy₁ + (1-α)²αy₀ + (1-α)³에스_-1

HM : 지수 시리즈입니다. Quelle Surprise! 지수 이동 평균에 대한 방정식에서 나오는 것을 상상해보십시오!

어쨌든, 나는이 x를 가지고있다⁰ + x¹ + x² + x³ + ... e 또는 자연스러운 로그가 여기를 걷어차 고 있지만 시간이 부족하기 전에 다음에 어디로 향하고 있는지 기억할 수 없습니다.

이 질문에 대한 답 또는 그러한 답변의 정확성 증명은 측정중인 데이터에 크게 달려 있습니다.

샘플이 t에서 복용 한 경우₀= 0ms, t₁= 0.9ms 및 t₂= 2.1ms이지만 α의 선택은 1-ms 간격을 기반으로하므로 로컬로 조정 된 α를 원합니다._N , 선택의 정확성 증명은 T = 1ms 및 t = 2ms에서 샘플 값을 아는 것을 의미합니다.

이것은 질문으로 이어집니다. 데이터를 보간하여 값이 무엇인지 제정신으로 추측 할 수 있습니까? 아니면 평균 자체를 보간 할 수 있습니까?

이것들 중 어느 것도 가능하지 않다면, 내가 보는 한, 값 중 하나의 논리적 선택은 다음과 같습니다. 가장 최근에 계산 된 평균, 즉 y (t) ≈ s_N 여기서 n은 t와 같은 최대입니다_Nu003Ct.

이 선택은 간단한 결과를 가져옵니다. 시차가 무엇이든 α를 내버려 두십시오.

반면에, 값을 보간 할 수 있다면, 평균 상수-간격 샘플을 제공합니다. 마지막으로, 평균 자체를 보간하는 것이 가능하다면, 그 질문은 의미가 없을 것입니다.

(1-α와 같은 약간 다른 α를 사용함으로써_{질문에서 하나}), 기존 평균 s에 새 값 y를 추가하는 기본 공식₀ 이렇게 보인다 :

s (y, s₀) =

(1-α) Y + αS₀ =

y -αy + αs₀ =

y + α (s₀-와이)

이제 우리가 시간 간격 t의 길이를 추가하고 α만이 그 t에 의존한다고 가정하면, 그 공식은 다음과 같습니다.

s (y, t, s₀) = y + α_티(에스₀-와이)

이제 t = t라고 가정합니다₁ + t₂. 시간 간격 t에 대해 y의 두 값을 추가하여 평균이 생성되는 경우₁ 그리고 t₂, 결과 평균은 다음과 같습니다.

s (y, t₂, S (y, t₁,에스₀)) =

Y + α_티₂(S (y, t₁,에스₀) -y) =

Y + α_티₂((Y + α_티₁(에스₀-y)) -y) =

Y + α_티₂α_티₁(에스₀-와이)

이 평균이 전체 T 간격이 한 번에 추가 된 것과 동일해야한다면 α를 따릅니다._티 = α_티₁α_티₂. 이 요구 사항을 충족시키는 α의 정의는 다음과 같습니다.

α_엑스 : = a^엑스 (일부 상수 a)

왜냐하면:

α_티 = a^티 = a^{티₁ + t₂} = a^티₁ ㅏ^티₂ = α_티₁α_티₂

이로 인해 다음 평균화 기능이 발생합니다.

s (y, t, s₀) = y + a^티(에스₀-와이)

나는 이것을 실제로 테스트하지 않았지만, 내가 만든 가정이 당신의 시나리오에 적합하다면 이것은 샘플링 간격의 변동을 잘 처리 할 수있는 평균화 함수처럼 보입니다.

연속 기능에서 지수 부패 평균을 만들고 싶다고 가정 해 봅시다. 그러나 우리는 그 함수의 모든 값이없고 몇 가지 샘플 만 가지고 있습니다. 이 공식은 연속 평균에서 가중치로 우리가 가지고있는 샘플의 가중 평균을 만듭니다.

승수_N = 알파^{시간_N-시간_N-1}

합집합_N = val_N + 합_N-1*승수_N

세다_N = 1 + 카운트_N-1*승수_N

avg_N = 합계_N/세다_N

나는 떠날 것이다 alpha 단독 값을 값으로, 누락 된 데이터를 작성하십시오.

샘플링 할 수없는 시간 동안 어떤 일이 발생하는지 모르기 때문에 해당 샘플을 0으로 채우거나 이전 값을 안정시키고 EMA에 해당 값을 사용할 수 있습니다. 또는 새로운 샘플이 있으면 일부 후진 보간, 결 측값을 채우고 EMA를 다시 작성하십시오.

내가 얻으려고하는 것은 입력이 있다는 것입니다. x[n] 구멍이 있습니다. 당신이 누락 된 데이터를 얻을 수있는 방법은 없습니다. 따라서 Zero Order Hold를 사용하거나 0으로 설정하거나 간의 보간을 할 수 있습니다. x[n] 그리고 x[n+M], 어디 M 누락 된 샘플의 수와 N 차이의 시작입니다. 아마도 값을 사용하기도 할 수도 있습니다 n.

이것은 내 TODO 목록의 열린 문제와 유사합니다. 나는 어느 정도의 계획이 어느 정도 운동을했지만 아직이 제안을 뒷받침하기 위해 수학적 작업을하지 않습니다.

업데이트 및 요약 : 보상 계수와 독립적으로 스무딩 계수 (알파)를 유지하고 싶습니다 (여기서 베타라고 함). 여기에서 이미 받아 들여진 Jason의 훌륭한 답변은 저에게 훌륭하게 작동합니다.

첫 번째 단계.

마지막 샘플을 채취 한 이후 시간을 측정 할 수 있다면 (일정한 샘플링 시간의 둥근 배수로 - 마지막 샘플이 8 단위 이후 7.8ms) 스무딩을 여러 번 적용하는 데 사용될 수 있습니다. 이 경우 공식을 8 번 적용하십시오. 당신은 현재 값에 대한 스무딩 편향을 효과적으로 만들었습니다.

두번째 단계.

더 나은 스무딩을 얻으려면 이전의 경우 공식을 8 번 적용하면서 알파를 조정해야합니다.

이 스무딩 근사치는 무엇을 놓치게됩니까?

위의 예에서 이미 7 개의 샘플을 놓쳤습니다.
이것은 1 단계에서 a 단조롭게 하는 현재 값을 다시 적용하는 것은 추가 7 배입니다
근사 계수를 정의하는 경우 베타 그것은 함께 적용됩니다 알파 (알파 대신 알파*베타로서), 우리는 7 개의 놓친 샘플이 이전 샘플과 현재 샘플 값 사이에서 원활하게 변하고 있다고 가정합니다.

라이센스 : CC-BY-SA ~와 함께 속성

제휴하지 않습니다 StackOverflow