두 개의 큰 정수를 곱하는 동안 오버플로를 잡고 계산합니다.

StackOverflow https://stackoverflow.com/questions/1815367

문제

비교적 많은 수를 곱하고 결과를 하나 또는 여러 정수로 저장하기 위해 효율적인 (선택적으로 표준, 우아하고 구현하기 쉬운) 솔루션을 찾고 있습니다.

다음과 같이 선언 된 2 개의 64 비트 정수가 있다고 가정 해 봅시다.

uint64_t a = xxx, b = yyy;

내가 할 때 a * b, 작업이 오버플로가 발생 하고이 경우 캐리를 어딘가에 저장하는지 어떻게 감지 할 수 있습니까?

점에 유의하시기 바랍니다 나는 큰 수 라이브러리를 사용하고 싶지 않습니다 숫자를 저장하는 방법에 제약이 있기 때문에.

도움이 되었습니까?

해결책

1. 오버플로 감지:

x = a * b;
if (a != 0 && x / a != b) {
    // overflow handling
}

편집 : 고정 부서 0 (감사합니다 마크!)

2. 캐리를 계산합니다 상당히 관여합니다. 한 가지 방법은 두 피연산자를 반 단어로 나누고 적용하는 것입니다. 긴 곱셈 반 단어에 :

uint64_t hi(uint64_t x) {
    return x >> 32;
}

uint64_t lo(uint64_t x) {
    return ((1L << 32) - 1) & x;
}

void multiply(uint64_t a, uint64_t b) {
    // actually uint32_t would do, but the casting is annoying
    uint64_t s0, s1, s2, s3; 

    uint64_t x = lo(a) * lo(b);
    s0 = lo(x);

    x = hi(a) * lo(b) + hi(x);
    s1 = lo(x);
    s2 = hi(x);

    x = s1 + lo(a) * hi(b);
    s1 = lo(x);

    x = s2 + hi(a) * hi(b) + hi(x);
    s2 = lo(x);
    s3 = hi(x);

    uint64_t result = s1 << 32 | s0;
    uint64_t carry = s3 << 32 | s2;
}

부분 합계 자체 중 어느 것도 넘칠 수 없다는 것을 알기 위해, 우리는 최악의 경우를 고려합니다.

        x = s2 + hi(a) * hi(b) + hi(x)

허락하다 B = 1 << 32. 그런 다음 우리는 가지고 있습니다

            x <= (B - 1) + (B - 1)(B - 1) + (B - 1)
              <= B*B - 1
               < B*B

나는 이것이 효과가 있다고 생각합니다. 적어도 SJLVER의 테스트 사례를 처리합니다. 그 외에도 테스트되지 않았습니다 (더 이상 C ++ 컴파일러가 없기 때문에 컴파일되지 않을 수도 있습니다).

다른 팁

아이디어는 적분 작동에 해당되는 다음 사실을 사용하는 것입니다.

a*b > c 경우에만 a > c/b

/ 여기에 필수적인 분열입니다.

양수에 대한 오버플로를 확인하는 의사 코드는 다음과 같습니다.

if (a> max_int64 / b) "Overflow"else "ok".

0과 음수를 다루려면 더 많은 수표를 추가해야합니다.

비 음성에 대한 C 코드 a 그리고 b 다음 :

if (b > 0 && a > 18446744073709551615 / b) {
     // overflow handling
}; else {
    c = a * b;
}

메모: 

18446744073709551615 == (1<<64)-1

캐리를 계산하기 위해 접근 방식을 사용하여 숫자를 두 개의 32 자리로 분할하고 논문 에서이 작업을 수행 할 때 곱할 수 있습니다. 오버플로를 피하기 위해 숫자를 분할해야합니다.

코드는 다음과 같습니다.

// split input numbers into 32-bit digits
uint64_t a0 = a & ((1LL<<32)-1);
uint64_t a1 = a >> 32;
uint64_t b0 = b & ((1LL<<32)-1);
uint64_t b1 = b >> 32;


// The following 3 lines of code is to calculate the carry of d1
// (d1 - 32-bit second digit of result, and it can be calculated as d1=d11+d12),
// but to avoid overflow.
// Actually rewriting the following 2 lines:
// uint64_t d1 = (a0 * b0 >> 32) + a1 * b0 + a0 * b1;
// uint64_t c1 = d1 >> 32;
uint64_t d11 = a1 * b0 + (a0 * b0 >> 32); 
uint64_t d12 = a0 * b1;
uint64_t c1 = (d11 > 18446744073709551615 - d12) ? 1 : 0;

uint64_t d2 = a1 * b1 + c1;
uint64_t carry = d2; // needed carry stored here

이 질문에 대한 몇 가지 다른 답변이 있었지만, 나는 그들 중 몇몇은 완전히 테스트되지 않은 코드를 가지고 있으며, 지금까지 다른 가능한 옵션을 적절하게 비교 한 사람은 없습니다.

이런 이유로 나는 몇 가지 가능한 구현을 작성하고 테스트했습니다 (마지막 구현은 이 코드 OpenBSD에서 Reddit에서 논의했습니다 여기). 코드는 다음과 같습니다.

/* Multiply with overflow checking, emulating clang's builtin function
 *
 *     __builtin_umull_overflow
 *
 * This code benchmarks five possible schemes for doing so.
 */

#include <stddef.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>
#include <limits.h>

#ifndef BOOL
    #define BOOL int
#endif

// Option 1, check for overflow a wider type
//    - Often fastest and the least code, especially on modern compilers
//    - When long is a 64-bit int, requires compiler support for 128-bits
//      ints (requires GCC >= 3.0 or Clang)

#if LONG_BIT > 32
    typedef __uint128_t long_overflow_t ;
#else
    typedef uint64_t long_overflow_t;
#endif

BOOL 
umull_overflow1(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
        long_overflow_t prod = (long_overflow_t)lhs * (long_overflow_t)rhs;
        *result = (unsigned long) prod;
        return (prod >> LONG_BIT) != 0;
}

// Option 2, perform long multiplication using a smaller type
//    - Sometimes the fastest (e.g., when mulitply on longs is a library
//      call).
//    - Performs at most three multiplies, and sometimes only performs one.
//    - Highly portable code; works no matter how many bits unsigned long is

BOOL 
umull_overflow2(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
        const unsigned long HALFSIZE_MAX = (1ul << LONG_BIT/2) - 1ul;
        unsigned long lhs_high = lhs >> LONG_BIT/2;
        unsigned long lhs_low  = lhs & HALFSIZE_MAX;
        unsigned long rhs_high = rhs >> LONG_BIT/2;
        unsigned long rhs_low  = rhs & HALFSIZE_MAX;

        unsigned long bot_bits = lhs_low * rhs_low;
        if (!(lhs_high || rhs_high)) {
            *result = bot_bits;
            return 0; 
        }
        BOOL overflowed = lhs_high && rhs_high;
        unsigned long mid_bits1 = lhs_low * rhs_high;
        unsigned long mid_bits2 = lhs_high * rhs_low;

        *result = bot_bits + ((mid_bits1+mid_bits2) << LONG_BIT/2);
        return overflowed || *result < bot_bits
            || (mid_bits1 >> LONG_BIT/2) != 0
            || (mid_bits2 >> LONG_BIT/2) != 0;
}

// Option 3, perform long multiplication using a smaller type (this code is
// very similar to option 2, but calculates overflow using a different but
// equivalent method).
//    - Sometimes the fastest (e.g., when mulitply on longs is a library
//      call; clang likes this code).
//    - Performs at most three multiplies, and sometimes only performs one.
//    - Highly portable code; works no matter how many bits unsigned long is

BOOL 
umull_overflow3(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
        const unsigned long HALFSIZE_MAX = (1ul << LONG_BIT/2) - 1ul;
        unsigned long lhs_high = lhs >> LONG_BIT/2;
        unsigned long lhs_low  = lhs & HALFSIZE_MAX;
        unsigned long rhs_high = rhs >> LONG_BIT/2;
        unsigned long rhs_low  = rhs & HALFSIZE_MAX;

        unsigned long lowbits = lhs_low * rhs_low;
        if (!(lhs_high || rhs_high)) {
            *result = lowbits;
            return 0; 
        }
        BOOL overflowed = lhs_high && rhs_high;
        unsigned long midbits1 = lhs_low * rhs_high;
        unsigned long midbits2 = lhs_high * rhs_low;
        unsigned long midbits  = midbits1 + midbits2;
        overflowed = overflowed || midbits < midbits1 || midbits > HALFSIZE_MAX;
        unsigned long product = lowbits + (midbits << LONG_BIT/2);
        overflowed = overflowed || product < lowbits;

        *result = product;
        return overflowed;
}

// Option 4, checks for overflow using division
//    - Checks for overflow using division
//    - Division is slow, especially if it is a library call

BOOL
umull_overflow4(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
        *result = lhs * rhs;
        return rhs > 0 && (SIZE_MAX / rhs) < lhs;
}

// Option 5, checks for overflow using division
//    - Checks for overflow using division
//    - Avoids division when the numbers are "small enough" to trivially
//      rule out overflow
//    - Division is slow, especially if it is a library call

BOOL
umull_overflow5(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
        const unsigned long MUL_NO_OVERFLOW = (1ul << LONG_BIT/2) - 1ul;
        *result = lhs * rhs;
        return (lhs >= MUL_NO_OVERFLOW || rhs >= MUL_NO_OVERFLOW) &&
            rhs > 0 && SIZE_MAX / rhs < lhs;
}

#ifndef umull_overflow
    #define umull_overflow2
#endif

/*
 * This benchmark code performs a multiply at all bit sizes, 
 * essentially assuming that sizes are logarithmically distributed.
 */

int main()
{
        unsigned long i, j, k;
        int count = 0;
        unsigned long mult;
        unsigned long total = 0;

        for (k = 0; k < 0x40000000 / LONG_BIT / LONG_BIT; ++k)
                for (i = 0; i != LONG_MAX; i = i*2+1)
                        for (j = 0; j != LONG_MAX; j = j*2+1) {
                                count += umull_overflow(i+k, j+k, &mult);
                                total += mult;
                        }
        printf("%d overflows (total %lu)\n", count, total);
}

결과는 다음과 같습니다. 결과는 다음과 같습니다.이 경우 다양한 컴파일러 및 시스템으로 테스트하는 결과는 다음과 같습니다 (이 경우 모든 테스트는 OS X에서 수행되었지만 결과는 BSD 또는 Linux 시스템에서 유사해야합니다).

+------------------+----------+----------+----------+----------+----------+
|                  | Option 1 | Option 2 | Option 3 | Option 4 | Option 5 |
|                  |  BigInt  | LngMult1 | LngMult2 |   Div    |  OptDiv  |
+------------------+----------+----------+----------+----------+----------+
| Clang 3.5 i386   |    1.610 |    3.217 |    3.129 |    4.405 |    4.398 |
| GCC 4.9.0 i386   |    1.488 |    3.469 |    5.853 |    4.704 |    4.712 |
| GCC 4.2.1 i386   |    2.842 |    4.022 |    3.629 |    4.160 |    4.696 |
| GCC 4.2.1 PPC32  |    8.227 |    7.756 |    7.242 |   20.632 |   20.481 |
| GCC 3.3   PPC32  |    5.684 |    9.804 |   11.525 |   21.734 |   22.517 |
+------------------+----------+----------+----------+----------+----------+
| Clang 3.5 x86_64 |    1.584 |    2.472 |    2.449 |    9.246 |    7.280 |
| GCC 4.9 x86_64   |    1.414 |    2.623 |    4.327 |    9.047 |    7.538 |
| GCC 4.2.1 x86_64 |    2.143 |    2.618 |    2.750 |    9.510 |    7.389 |
| GCC 4.2.1 PPC64  |   13.178 |    8.994 |    8.567 |   37.504 |   29.851 |
+------------------+----------+----------+----------+----------+----------+

이 결과를 바탕으로 몇 가지 결론을 도출 할 수 있습니다.

  • 분명히, 디비전 기반 접근법은 간단하고 휴대용이지만 느립니다.
  • 모든 경우에 명확한 승자는 없습니다.
  • 최신 컴파일러에서 사용할 수 있다면 Larger-Int 접근 방식이 가장 좋습니다.
  • 구형 컴파일러에서는 장기간의 접근 방식이 가장 좋습니다
  • 놀랍게도, GCC 4.9.0은 GCC 4.2.1에 대한 성능 회귀를 가지고 있으며 GCC 4.2.1은 GCC 3.3에 비해 성능 회귀가 있습니다.

a == 0 일 때도 작동하는 버전 :

    x = a * b;
    if (a != 0 && x / a != b) {
        // overflow handling
    }

오버플로를 감지 할뿐만 아니라 캐리를 캡처 해야하는 경우 32 비트 부품으로 숫자를 분해하는 것이 가장 좋습니다. 코드는 악몽입니다. 다음은 스케치 일뿐입니다.

#include <stdint.h>

uint64_t mul(uint64_t a, uint64_t b) {
  uint32_t ah = a >> 32;
  uint32_t al = a;  // truncates: now a = al + 2**32 * ah
  uint32_t bh = b >> 32;
  uint32_t bl = b;  // truncates: now b = bl + 2**32 * bh
  // a * b = 2**64 * ah * bh + 2**32 * (ah * bl + bh * al) + al * bl
  uint64_t partial = (uint64_t) al * (uint64_t) bl;
  uint64_t mid1    = (uint64_t) ah * (uint64_t) bl;
  uint64_t mid2    = (uint64_t) al * (uint64_t) bh;
  uint64_t carry   = (uint64_t) ah * (uint64_t) bh;
  // add high parts of mid1 and mid2 to carry
  // add low parts of mid1 and mid2 to partial, carrying
  //    any carry bits into carry...
}

문제는 부분 제품뿐만 아니라 합계가 넘칠 수 있다는 사실입니다.

내가 실제로 이것을해야한다면, 나는 현지 조립 언어로 연장 된 일상적인 일상을 쓸 것입니다. 즉, 예를 들어, 2 개의 64 비트 정수를 곱하여 128 비트 결과를 얻을 수 있으며, 이는 2 개의 64 비트 레지스터에 저장됩니다. 모든 합리적인 하드웨어는이 기능을 단일 기본 곱하기 명령어로 제공합니다. C에서 액세스 할 수있는 것은 아닙니다.

이것은 가장 우아하고 프로그램하기 쉬운 솔루션이 실제로 어셈블리 언어를 사용하는 드문 경우 중 하나입니다. 그러나 그것은 확실히 휴대 할 수 없습니다 :-(

나는 오늘이 문제를 해결하고 있었고 사람들이 오버플로가 발생했는지 알 수있는 가장 좋은 방법을 말하는 가장 좋은 방법이 결과를 나누는 것이 가장 비효율적이며 완전히 비효율적이며, 그것은 완전히 비효율적이며, 그것은 완전히 비효율적이며, 그 결과는 완전히 비효율적이며, 그것은 사람들이 저에게 감동했다고 말해야합니다. 불필요한. 이 기능의 요점은 가능한 빨리 있어야한다는 것입니다.

오버플로 감지에는 두 가지 옵션이 있습니다.

1º- 가능하면 결과 변수를 승수보다 두 배나 큽니다.

struct INT32struct {INT16 high, low;};
typedef union
{
  struct INT32struct s;
  INT32 ll;
} INT32union;

INT16 mulFunction(INT16 a, INT16 b)
{
  INT32union result.ll = a * b; //32Bits result
  if(result.s.high > 0) 
      Overflow();
  return (result.s.low)
}

오버플로가있는 경우 즉시 알 수 있으며, 기계 코드로 작성하지 않고도 코드가 가장 빠릅니다. 컴파일러에 따라이 코드는 기계 코드에서 개선 될 수 있습니다.

2º-는 승수 변수보다 두 배 큰 결과 변수를 만들 수 없습니다. 그러면 최상의 경로를 결정하기 위해 조건을 사용해야합니다. 예제를 계속합니다 :

INT32 mulFunction(INT32 a, INT32 b)
{

  INT32union s_a.ll = abs(a);
  INT32union s_b.ll = abs(b); //32Bits result
  INT32union result;
  if(s_a.s.hi > 0 && s_b.s.hi > 0)
  {
      Overflow();
  }
  else if (s_a.s.hi > 0)
  {
      INT32union res1.ll = s_a.s.hi * s_b.s.lo;
      INT32union res2.ll = s_a.s.lo * s_b.s.lo;
      if (res1.hi == 0)
      {
          result.s.lo = res1.s.lo + res2.s.hi;
          if (result.s.hi == 0)
          {
            result.s.ll = result.s.lo << 16 + res2.s.lo;
            if ((a.s.hi >> 15) ^ (b.s.hi >> 15) == 1)
            {
                result.s.ll = -result.s.ll; 
            }
            return result.s.ll
          }else
          {
             Overflow();
          }
      }else
      {
          Overflow();
      }
  }else if (s_b.s.hi > 0)
{

   //Same code changing a with b

}else 
{
    return (s_a.lo * s_b.lo);
}
}

이 코드가 매우 효율적인 프로그램을 갖는 데 도움이되기를 바랍니다. 코드가 명확 해지기를 바랍니다.

친애하는.

아마도이 문제를 해결하는 가장 좋은 방법은 함수를 갖는 것입니다.이 기능은 두 개의 UINT64를 곱하고 UINT64 쌍, 윗부분 및 UINT128 결과의 하단을 결과를 얻는 것입니다. 다음은 기능을 포함하여 16 진수로 결과를 표시하는 솔루션입니다. C ++ 솔루션을 선호 할 것 같지만 문제를 관리하는 방법을 보여주는 작업 신속한 해결책이 있습니다.

func hex128 (_ hi: UInt64, _ lo: UInt64) -> String
{
    var s: String = String(format: "%08X", hi >> 32)
                  + String(format: "%08X", hi & 0xFFFFFFFF)
                  + String(format: "%08X", lo >> 32)
                  + String(format: "%08X", lo & 0xFFFFFFFF)
    return (s)
}

func mul64to128 (_ multiplier: UInt64, _ multiplicand : UInt64)
             -> (result_hi: UInt64, result_lo: UInt64)
{
    let x: UInt64 = multiplier
    let x_lo: UInt64 = (x & 0xffffffff)
    let x_hi: UInt64 = x >> 32

    let y: UInt64 = multiplicand
    let y_lo: UInt64 = (y & 0xffffffff)
    let y_hi: UInt64 = y >> 32

    let mul_lo: UInt64 = (x_lo * y_lo)
    let mul_hi: UInt64 = (x_hi * y_lo) + (mul_lo >> 32)
    let mul_carry: UInt64 = (x_lo * y_hi) + (mul_hi & 0xffffffff)
    let result_hi: UInt64 = (x_hi * y_hi) + (mul_hi >> 32) + (mul_carry >> 32)
    let result_lo: UInt64 = (mul_carry << 32) + (mul_lo & 0xffffffff)

    return (result_hi, result_lo)
}

다음은 기능이 작동하는지 확인해야 할 예입니다.

var c: UInt64 = 0
var d: UInt64 = 0

(c, d) = mul64to128(0x1234567890123456, 0x9876543210987654)
// 0AD77D742CE3C72E45FD10D81D28D038 is the result of the above example
print(hex128(c, d))

(c, d) = mul64to128(0xFFFFFFFFFFFFFFFF, 0xFFFFFFFFFFFFFFFF)
// FFFFFFFFFFFFFFFE0000000000000001 is the result of the above example
print(hex128(c, d))

다음은 서명되지 않은 두 개의 정수의 곱셈 여부를 감지하기위한 트릭입니다.

N- 비트 전체의 이진수를 M 비트 전체 이진수로 곱하면 제품에 N + M 비트가 없다는 것을 관찰합니다.

예를 들어, 3 비트 번호를 21 개의 비트 번호로 곱하라는 요청을받는 경우 그렇지 않습니다 오버플로 32 비트.

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

int might_be_mul_oflow(unsigned long a, unsigned long b)
{
  if (!a || !b)
    return 0;

  a = a | (a >> 1) | (a >> 2) | (a >> 4) | (a >> 8) | (a >> 16) | (a >> 32);
  b = b | (b >> 1) | (b >> 2) | (b >> 4) | (b >> 8) | (b >> 16) | (b >> 32);

  for (;;) {
    unsigned long na = a << 1;
    if (na <= a)
      break;
    a = na;
  }

  return (a & b) ? 1 : 0;
}

int main(int argc, char **argv)
{
  unsigned long a, b;
  char *endptr;

  if (argc < 3) {
    printf("supply two unsigned long integers in C form\n");
    return EXIT_FAILURE;
  }

  a = strtoul(argv[1], &endptr, 0);

  if (*endptr != 0) {
    printf("%s is garbage\n", argv[1]);
    return EXIT_FAILURE;
  }

  b = strtoul(argv[2], &endptr, 0);

  if (*endptr != 0) {
    printf("%s is garbage\n", argv[2]);
    return EXIT_FAILURE;
  }

  if (might_be_mul_oflow(a, b))
    printf("might be multiplication overflow\n");

  {
    unsigned long c = a * b;
    printf("%lu * %lu = %lu\n", a, b, c);
    if (a != 0 && c / a != b)
      printf("confirmed multiplication overflow\n");
  }

  return 0;
}

테스트의 스터 링 : (64 비트 시스템) :

$ ./uflow 0x3 0x3FFFFFFFFFFFFFFF
3 * 4611686018427387903 = 13835058055282163709

$ ./uflow 0x7 0x3FFFFFFFFFFFFFFF
might be multiplication overflow
7 * 4611686018427387903 = 13835058055282163705
confirmed multiplication overflow

$ ./uflow 0x4 0x3FFFFFFFFFFFFFFF
might be multiplication overflow
4 * 4611686018427387903 = 18446744073709551612

$ ./uflow 0x5 0x3FFFFFFFFFFFFFFF
might be multiplication overflow
5 * 4611686018427387903 = 4611686018427387899
confirmed multiplication overflow

발걸음 might_be_mul_oflow 최소한 데스크탑 워크 스테이션, 서버 및 모바일 장치에 사용되는 주류 프로세서에서는 디비전 테스트를 수행하는 것보다 거의 느리게됩니다. 디비전 지원이 좋은 칩에서는 유용 할 수 있습니다.

이 조기 거부 테스트를 수행하는 또 다른 방법이 있습니다.

  1. 우리는 한 쌍으로 시작합니다 arng 그리고 brng 초기화됩니다 0x7FFF...FFFF 그리고 1.

  2. 만약에 a <= arng 그리고 b <= brng 우리는 오버플로가 없다고 결론을 내릴 수 있습니다.

  3. 그렇지 않으면, 우리는 이동합니다 arng 오른쪽으로, 이동 brng 왼쪽에 비트를 추가합니다 brng, 그들은 그들이 있습니다 0x3FFF...FFFF 그리고 3.

  4. 만약에 arng 0, 마무리; 그렇지 않으면 2에서 반복하십시오.

이제 기능은 다음과 같습니다.

int might_be_mul_oflow(unsigned long a, unsigned long b)
{
  if (!a || !b)
    return 0;

  {
    unsigned long arng = ULONG_MAX >> 1;
    unsigned long brng = 1;

    while (arng != 0) {
      if (a <= arng && b <= brng)
        return 0;
      arng >>= 1;
      brng <<= 1;
      brng |= 1;
    }

    return 1;
  }
}

오버플로를 감지하려면 이중으로 변환, 곱셈을 수행하며

| x | <2^53, int64로 변환

| x | <2^63, int64를 사용하여 곱하기를 만듭니다.

그렇지 않으면 원하는 오류를 생성합니까?

이것은 작동하는 것 같습니다 :

int64_t safemult(int64_t a, int64_t b) {
  double dx;

  dx = (double)a * (double)b;

  if ( fabs(dx) < (double)9007199254740992 )
    return (int64_t)dx;

  if ( (double)INT64_MAX < fabs(dx) )
    return INT64_MAX;

  return a*b;
}
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