Ajuda com um Coq prova para Subseqüências
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13-09-2020 - |
Pergunta
Eu tenho o definido indutivo tipos:
Inductive InL (A:Type) (y:A) : list A -> Prop :=
| InHead : forall xs:list A, InL y (cons y xs)
| InTail : forall (x:A) (xs:list A), InL y xs -> InL y (cons x xs).
Inductive SubSeq (A:Type) : list A -> list A -> Prop :=
| SubNil : forall l:list A, SubSeq nil l
| SubCons1 : forall (x:A) (l1 l2:list A), SubSeq l1 l2 -> SubSeq l1 (x::l2)
| SubCons2 : forall (x:A) (l1 l2:list A), SubSeq l1 l2 -> SubSeq (x::l1) (x::l2).
Agora eu tenho que provar uma série de propriedades do tipo indutivo, mas eu continuo ficando preso.
Lemma proof1: forall (A:Type) (x:A) (l1 l2:list A), SubSeq l1 l2 -> InL x l1 -> InL x l2.
Proof.
intros.
induction l1.
induction l2.
exact H0.
Qed.
Alguém pode me ajudar com antecedência.
Solução
Na verdade, é mais fácil fazer uma indução sobre o Subconjunto julgamento diretamente.No entanto, você precisa ser tão geral quanto possível, então, aqui está o meu conselho:
Lemma proof1: forall (A:Type) (x:A) (l1 l2:list A),
SubSeq l1 l2 -> InL x l1 -> InL x l2.
(* first introduce your hypothesis, but put back x and In foo
inside the goal, so that your induction hypothesis are correct*)
intros.
revert x H0. induction H; intros.
(* x In [] is not possible, so inversion will kill the subgoal *)
inversion H0.
(* here it is straitforward: just combine the correct hypothesis *)
apply InTail; apply IHSubSeq; trivial.
(* x0 in x::l1 has to possible sources: x0 == x or x0 in l1 *)
inversion H0; subst; clear H0.
apply InHead.
apply InTail; apply IHSubSeq; trivial.
Qed.
"inversão" é uma tática que verifica indutiva prazo e dá-lhe toda a forma possível construir um prazo !!sem qualquer hipótese de indução!!Ele só dá você construtiva premices.
Você poderia tê-lo feito diretamente por indução em l1 e l2, mas você teria que construir pela mão a instância correta de inversão porque a sua hipótese de indução teria sido muito fraco.
Espero que ajude, V.