Помогите с доказательством кока для подпоследовательности

Question

У меня есть определенные индуктивные типы:

Inductive InL (A:Type) (y:A) : list A -> Prop := 
  | InHead : forall xs:list A, InL y (cons y xs) 
  | InTail : forall (x:A) (xs:list A), InL y xs -> InL y (cons x xs).

Inductive SubSeq (A:Type) : list A -> list A -> Prop :=
 | SubNil : forall l:list A, SubSeq nil l
 | SubCons1 : forall (x:A) (l1 l2:list A), SubSeq l1 l2 -> SubSeq l1 (x::l2)
 | SubCons2 : forall (x:A) (l1 l2:list A), SubSeq l1 l2 -> SubSeq (x::l1) (x::l2).

.

Теперь я должен доказать серию свойств этого индуктивного типа, но я продолжаю застревать.

Lemma proof1: forall (A:Type) (x:A) (l1 l2:list A), SubSeq l1 l2 -> InL x l1 -> InL x l2.
Proof.
 intros.
 induction l1.
 induction l2.
 exact H0.

Qed.

.

Может ли кто-нибудь помочь мне продвинуться.

Answer 1

На самом деле, легче сделать индукцию на подмноженном решении напрямую. Тем не менее, вы должны быть как можно более общее, поэтому вот мой совет:

Lemma proof1: forall (A:Type) (x:A) (l1 l2:list A), 
  SubSeq l1 l2 -> InL x l1 -> InL x l2.
(* first introduce your hypothesis, but put back x and In foo
   inside the goal, so that your induction hypothesis are correct*)
intros. 
revert x H0. induction H; intros.
(* x In [] is not possible, so inversion will kill the subgoal *)
inversion H0.

(* here it is straitforward: just combine the correct hypothesis *)
apply InTail; apply IHSubSeq; trivial.

(* x0 in x::l1 has to possible sources: x0 == x or x0 in l1 *)
inversion H0; subst; clear H0.
apply InHead.
apply InTail; apply IHSubSeq; trivial.
Qed.

.

«Инверсия» - это тактика, которая проверяет индуктивный термин и дает вам все возможное способом построить такой термин! Без какой-либо гипотезы индукции !! Это только дает вам конструктивные предпосылки.

Вы могли бы сделать это непосредственно путем индукции на L1, а затем L2, но вам придется построить вручную правильный экземпляр инверсии, потому что ваша индукционная гипотеза была бы действительно слабой.

Надеюсь, это поможет, V.