Convertendo declarações matemáticas para fórmulas sentadas

Question

É possível escrever uma declaração matemática (como a conjectura da Goldbach, por exemplo) como uma fórmula de 3 sat indisponível que é satisfável por essa afirmação?iff é falso?IFF é independente dos axiomas do ZFC?Então, para qualquer declaração, você teria (no máximo) 3 fórmulas, para as quais apenas um pode ser satisfatório.Existe algum trabalho neste campo (você pode usar o teorema pitagórico como um exemplo mais simples)?

Answer 1

Se você quiser saber se existe um método geral / algoritmo que pode converter qualquer declaração matemática (pelo qual você quer dizer declarações escritas na lógica (digamos lógica de primeira ordem, lógica de segunda ordem ... etc)) parauma fórmula SAT, que é verdadeira iff essa afirmação é verdadeira, então a resposta é não.

A razão é que avaliando se uma fórmula de SAT é verdadeira ou falsa é Decidável (no tempo exponencial, se não mais rápido), enquanto essas lógicas são geralmente indecidável .Então, tal algoritmo pode existir.

Claro, existem lógicas decidíveis, e a declaração dessas lógicas pode ser convertida em fórmula SAT (talvez triviais como verdadeira ou falsa como mencionado por @ D.W) por um algoritmo específico.Veja: http://www.lsv.fr/~haase/documents/h18.pdf

Answer 2

Depende da declaração matemática. Se tiver o formulário

$$ \ existe x_1 \ in s_1 \ cdoots \ existe x_n \ in s_n. \ varphi (x_1, \ pontos, x_n) $$

onde $ \ varphi (x_1, \ pontos, x_n) $ é alguma condição na $ x_1, \ pontos, x_n $ e $ s_1, \ pontos, s_n $ são conjuntos finitos, então sim, ele pode ser expresso como uma fórmula 3CNF de maneira direta. / p >.

No entanto, declarações como $ \ existe x \ in s_1 \ forall y \ in s_2. \ varphi (x, y) $ ou $ \ existe x_1 \ in \ mathbb {r} \ cdoz \ existe x_n \ in \ mathbb {r}. \ varphi (x_1, \ dots, x_n) $ são mais difíceis.

Há um sentido trivial em que a resposta é sim: Toda declaração matemática é verdadeira ou falsa, por isso corresponde à fórmula 3cnf $ {TRUE} $ < / span> (ou seja, $ (x_1 \ lor \ neg x_1) $ ) ou a fórmula 3cnf $ \ text {false } $ (isto é, $ (x_1) \ terra (\ neg x_1) $ ). Essa redução é não construtiva e pode não ser computável, no entanto.

Você pode estar interessado em https://en.wikipedia.org/wiki/existencial_theory_of_the_reals< >.

Undecidable é uma propriedade de idiomas, não de declarações matemáticas. Talvez você quer dizer "independente dos axiomas do ZFC".