Passando por todas as permutações uma troca de cada vez

Question

Dada uma lista de n itens distintos, como posso passar por cada permutação dos itens que trocam apenas um par de valores por vez? (Presumo que seja possível, certamente parece que deveria ser.)

O que estou procurando é um iterador que gera os índices do próximo par de itens a serem trocados, de modo que, se iterado n! -1 vezes, ele passará pelo N! Permutações da lista em alguma ordem. Se a itera mais uma vez, restauraria a lista em sua ordem de partida, seria um bônus, mas não é um requisito. Se todos os pares envolverem o primeiro elemento (resp. O último) como um dos pares, para que a função precise retornar um único valor, isso também seria um bônus.

Exemplo:-Para 3 elementos, você pode trocar o último elemento alternadamente com o primeiro e o segundo elementos para percorrer as permutações, viz: (ABC) trocar 0-2 => (CBA) 1-2 (CAB) 0-2 ( BAC) 1-2 (BCA) 0-2 (ACB).

Estarei implementando em C, mas provavelmente poderei intrometer soluções na maioria dos idiomas.

Answer 1

Ah, uma vez que calculei uma sequência para n = 4 (com o "sempre troque o primeiro item com outra restrição", pude encontrar sequência A123400 No OEIS, que me disse que eu precisava do "método de troca de Ehrlich".

O Google me encontrou uma implementação C ++, que eu presumo de isto está sob o GPL. Eu também encontrei Knuth's Fascículo 2b que descreve várias soluções para exatamente o meu problema.

Depois de ter uma implementação C testada, atualizarei isso com o código.

Aqui está algum código Perl que implementa o método de Ehrlich com base na descrição de Knuth. Para listas de até 10 itens, testei em cada caso que ele gerou corretamente a lista completa de permutações e depois parei.

#
# Given a count of items in a list, returns an iterator that yields the index
# of the item with which the zeroth item should be swapped to generate a new
# permutation. Returns undef when all permutations have been generated.
#
# Assumes all items are distinct; requires a positive integer for the count.
#
sub perm_iterator {
    my $n = shift;
    my @b = (0 .. $n - 1);
    my @c = (undef, (0) x $n);
    my $k;
    return sub {
        $k = 1;
        $c[$k++] = 0 while $c[$k] == $k;
        return undef if $k == $n;
        ++$c[$k];
        @b[1 .. $k - 1] = reverse @b[1 .. $k - 1];
        return $b[$k];
    };
}

Exemplo de uso:

#!/usr/bin/perl -w
use strict;
my @items = @ARGV;
my $iterator = perm_iterator(scalar @items);
print "Starting permutation: @items\n";
while (my $swap = $iterator->()) {
    @items[0, $swap] = @items[$swap, 0];
    print "Next permutation: @items\n";
}
print "All permutations traversed.\n";
exit 0;

Por solicitação, código Python. (Desculpe, provavelmente não é excessivamente idiomático. Sugestões de melhoria são bem -vindas.)

class ehrlich_iter:
  def __init__(self, n):
    self.n = n
    self.b = range(0, n)
    self.c = [0] * (n + 1)

  def __iter__(self):
    return self

  def next(self):
    k = 1
    while self.c[k] == k:
      self.c[k] = 0
      k += 1
    if k == self.n:
      raise StopIteration
    self.c[k] += 1
    self.b[1:k - 1].reverse
    return self.b[k]

mylist = [ 1, 2, 3, 4 ]   # test it
print "Starting permutation: ", mylist
for v in ehrlich_iter(len(mylist)):
  mylist[0], mylist[v] = mylist[v], mylist[0]
  print "Next permutation: ", mylist
print "All permutations traversed."

Answer 2

Tenho certeza de que é tarde demais para você, mas encontrei uma boa adição a esta pergunta: Algoritmo de Steinhaus - Johnson - Trocador E suas variantes fazem exatamente o que você pediu. Além disso, possui a propriedade adicional de que sempre troca índices adjacentes. Tentei implementar uma das variantes (pares) em Java como iterador e funciona bem:

import java.util.*;

// Based on https://en.wikipedia.org/wiki/Steinhaus%E2%80%93Johnson%E2%80%93Trotter_algorithm#Even.27s_speedup
public class PermIterator
    implements Iterator<int[]>
{
    private int[] next = null;

    private final int n;
    private int[] perm;
    private int[] dirs;

    public PermIterator(int size) {
        n = size;
        if (n <= 0) {
            perm = (dirs = null);
        } else {
            perm = new int[n];
            dirs = new int[n];
            for(int i = 0; i < n; i++) {
                perm[i] = i;
                dirs[i] = -1;
            }
            dirs[0] = 0;
        }

        next = perm;
    }

    @Override
    public int[] next() {
        int[] r = makeNext();
        next = null;
        return r;
    }

    @Override
    public boolean hasNext() {
        return (makeNext() != null);
    }

    @Override
    public void remove() {
        throw new UnsupportedOperationException();
    }

    private int[] makeNext() {
        if (next != null)
            return next;
        if (perm == null)
            return null;

        // find the largest element with != 0 direction
        int i = -1, e = -1;
        for(int j = 0; j < n; j++)
            if ((dirs[j] != 0) && (perm[j] > e)) {
                e = perm[j];
                i = j;
            }

        if (i == -1) // no such element -> no more premutations
            return (next = (perm = (dirs = null))); // no more permutations

        // swap with the element in its direction
        int k = i + dirs[i];
        swap(i, k, dirs);
        swap(i, k, perm);
        // if it's at the start/end or the next element in the direction
        // is greater, reset its direction.
        if ((k == 0) || (k == n-1) || (perm[k + dirs[k]] > e))
            dirs[k] = 0;

        // set directions to all greater elements
        for(int j = 0; j < n; j++)
            if (perm[j] > e)
                dirs[j] = (j < k) ? +1 : -1;

        return (next = perm);
    }

    protected static void swap(int i, int j, int[] arr) {
        int v = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = v;
    }


    // -----------------------------------------------------------------
    // Testing code:

    public static void main(String argv[]) {
        String s = argv[0];
        for(Iterator<int[]> it = new PermIterator(s.length()); it.hasNext(); ) {
            print(s, it.next());
        }
    }

    protected static void print(String s, int[] perm) {
        for(int j = 0; j < perm.length; j++)
            System.out.print(s.charAt(perm[j]));
        System.out.println();
    }
}

Seria fácil modificá -lo para um iterador infinito que reinicie o ciclo no final, ou um iterador que retornaria os índices trocados em vez da próxima permutação.

Aqui Outro link coletando várias implementações.

Answer 3

Dê uma olhada na função da biblioteca padrão C ++ Next_perMuation (...). Esse deve ser um bom ponto de partida.

Answer 4

Você poderia dar uma olhada em https://sourceforge.net/projects/swappermutação/ que é uma implementação Java dos requisitos exatamente de você: um iterador que gera swaps. Criou isso há algum tempo, um atualizado recentemente.