problema probabilidade - Duplicatas na escolha da cesta grande

Question

Eu preciso explicar para o cliente por que tolos estão aparecendo entre 2 exames supostamente diferentes. Tem sido 20 anos desde Prob e Estatísticas.

Eu tenho um exame de múltipla escolha gerado. Há 192 perguntas no banco de dados, 100 são escolhidos aleatoriamente (sem dupes).

Obviamente, existe uma probabilidade de 100% de não ser, pelo menos, 8 tolos entre quaisquer dois exames assim gerado. (Princípio Pigeonhole)

Como faço para calcular a probabilidade de haver 25 crédulos? 50 crédulos? 75 crédulos?

- Edit após o fato - Corri isso através de excel, levando somas das probabilidades de n-100, Para este problema particular, as probabilidades eram

n   P(n+ dupes)
40  97.5%
52  ~50% 
61  ~0

Answer 1

Erm, isso realmente é realmente nebuloso para mim. Mas não são (192 escolha 100) possíveis exames, certo?

E há (100 escolher N) maneiras de escolher dupes N, cada um com (92 escolher 100-N) maneiras de pegar o resto das perguntas, não?

Portanto, não é a probabilidade de escolher N crédulos apenas:

(100 escolher N) * (92 escolher 100-N) / (192 escolher 100)

EDIT: Então, se você quer que as chances de N ou mais engana em vez de exatamente N, você tem que somar a metade superior do que a fração de todos os valores de N a partir do número mínimo de dupes até a 100.

Errrr, talvez ...

Answer 2

Depois de criar o primeiro exame, há 92 perguntas que nunca foram utilizados, e 100 que têm. Se você agora gerar um outro exame, com 100 perguntas nela, você está escolhendo a partir de um conjunto de 92 perguntas que nunca foram utilizados, e 100 que têm. É claro que você está indo para obter algumas duplicatas.

Você esperaria para obter (100/192) * 100 duplicatas, ou seja, em quaisquer dois exames escolhidos aleatoriamente, haverá (em média) de 52 perguntas duplicadas.

Se você quiser a probabilidade de que há 25, ou 75, ou o que quer, então você tem duas escolhas.

a) trabalhar a matemática

b) simular algumas corridas em um computador

Answer 3

É provavelmente maior do que você pensa. Eu não vou tentar duplicar este artigo: http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_paradox