A magnitude do resultado da FFT depende da frequência das ondas?
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21-09-2019 - |
Pergunta
Estou confuso com os resultados que estou obtendo da FFT e apreciaria qualquer ajuda.
Estou usando o FFTW 3.2.2, mas obtive resultados semelhantes com outras implementações da FFT (em Java). Quando tomo a FFT de uma onda senoidal, a escala do resultado depende da frequência (Hz) da onda-especificamente, seja perto de um número inteiro ou não. Os valores resultantes são muito pequenos quando a frequência está próxima de um número inteiro e são ordens de magnitude maiores quando a frequência está entre os números inteiros. Este gráfico mostra a magnitude do pico no resultado da FFT correspondente à frequência da onda, para diferentes frequências. Isto está certo??
Eu verifiquei se a FFT inversa da FFT é igual à onda seno -seno original vezes o número de amostras, e é. A forma da FFT também parece estar correta.
Não seria tão ruim se eu estivesse analisando ondas senoidais individuais, porque eu poderia apenas procurar o pico na FFT, independentemente de sua altura. O problema é que eu quero analisar quantias de ondas senoidais. Se estou analisando uma soma de ondas senoidais em, digamos, 440 Hz e 523,25 Hz, apenas o pico para o de 523,25 Hz aparece. O pico para o outro é tão pequeno que parece barulho. Deve haver alguma maneira de fazer isso funcionar, porque no Matlab funciona-eu recebo picos de tamanho semelhante nas duas frequências. Como posso alterar o código abaixo para equalizar a escala para diferentes frequências?
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <fftw3.h>
#include <cstdio>
using namespace std;
const double PI = 3.141592;
/* Samples from 1-second sine wave with given frequency (Hz) */
void sineWave(double a[], double frequency, int samplesPerSecond, double ampFactor);
int main(int argc, char** argv) {
/* Args: frequency (Hz), samplesPerSecond, ampFactor */
if (argc != 4) return -1;
double frequency = atof(argv[1]);
int samplesPerSecond = atoi(argv[2]);
double ampFactor = atof(argv[3]);
/* Init FFT input and output arrays. */
double * wave = new double[samplesPerSecond];
sineWave(wave, frequency, samplesPerSecond, ampFactor);
double * fftHalfComplex = new double[samplesPerSecond];
int fftLen = samplesPerSecond/2 + 1;
double * fft = new double[fftLen];
double * ifft = new double[samplesPerSecond];
/* Do the FFT. */
fftw_plan plan = fftw_plan_r2r_1d(samplesPerSecond, wave, fftHalfComplex, FFTW_R2HC, FFTW_ESTIMATE);
fftw_execute(plan);
memcpy(fft, fftHalfComplex, sizeof(double) * fftLen);
fftw_destroy_plan(plan);
/* Do the IFFT. */
fftw_plan iplan = fftw_plan_r2r_1d(samplesPerSecond, fftHalfComplex, ifft, FFTW_HC2R, FFTW_ESTIMATE);
fftw_execute(iplan);
fftw_destroy_plan(iplan);
printf("%s,%s,%s", argv[1], argv[2], argv[3]);
for (int i = 0; i < samplesPerSecond; i++) {
printf("\t%.6f", wave[i]);
}
printf("\n");
printf("%s,%s,%s", argv[1], argv[2], argv[3]);
for (int i = 0; i < fftLen; i++) {
printf("\t%.9f", fft[i]);
}
printf("\n");
printf("\n");
printf("%s,%s,%s", argv[1], argv[2], argv[3]);
for (int i = 0; i < samplesPerSecond; i++) {
printf("\t%.6f (%.6f)", ifft[i], samplesPerSecond * wave[i]); // actual and expected result
}
delete[] wave;
delete[] fftHalfComplex;
delete[] fft;
delete[] ifft;
}
void sineWave(double a[], double frequency, int samplesPerSecond, double ampFactor) {
for (int i = 0; i < samplesPerSecond; i++) {
double time = i / (double) samplesPerSecond;
a[i] = ampFactor * sin(2 * PI * frequency * time);
}
}
Solução
Os valores resultantes são muito pequenos quando a frequência está próxima de um número inteiro e são ordens de magnitude maiores quando a frequência está entre os números inteiros.
Isso ocorre porque uma transformação rápida de Fourier assume que a entrada é periódica e é repetida infinitamente. Se você tem um número não integral de ondas senoidais e repetir essa forma de onda, não é uma onda senoidal perfeita. Isso causa um resultado de FFT que sofre de "vazamento espectral"
Investigar funções de janela. Estes atenuam a entrada no início e no final, para que o vazamento espectral seja diminuído.
PS: Se você deseja obter conteúdo preciso de frequência em torno do fundamental, capture muitos ciclos de ondas e não precisa capturar muitos pontos por ciclo (32 ou 64 pontos por ciclo provavelmente é suficiente). Se você deseja obter conteúdo preciso de frequência em harmônicos mais altos, capture um número menor de ciclos e mais pontos por ciclo.
Outras dicas
Eu só posso recomendar que você olhe para o código de rádio GNU. O arquivo que pode ser de particular interesse para você é usrp_fft.py.