Captura e estouro de computação durante a multiplicação de dois números inteiros grandes
https://stackoverflow.com/questions/1815367
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06-07-2019 - |
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Eu estou procurando uma solução eficiente (opcionalmente padrão, elegante e fácil de implementar) para multiplicar um número relativamente grande, e armazenar o resultado em um ou vários números inteiros:
Vamos dizer que eu tenho dois de 64 bits inteiros declarada como este:
uint64_t a = xxx, b = yyy;
Quando eu faço a * b, como posso detectar se os resultados da operação em um estouro e neste caso armazene o carry em algum lugar?
Por favor note que Eu não quero usar qualquer biblioteca em grande número desde que eu tenho restrições sobre a maneira que eu guarde os números.
Solução
1. Detectar o excesso :
x = a * b;
if (a != 0 && x / a != b) {
// overflow handling
}
Edit: divisão fixa por 0 (! Graças Mark)
2. Calculando a carry é bastante envolvido. Uma abordagem é dividir ambos os operandos em meias-palavras, em seguida, aplicar longo multiplicação à metade -words:
uint64_t hi(uint64_t x) {
return x >> 32;
}
uint64_t lo(uint64_t x) {
return ((1L << 32) - 1) & x;
}
void multiply(uint64_t a, uint64_t b) {
// actually uint32_t would do, but the casting is annoying
uint64_t s0, s1, s2, s3;
uint64_t x = lo(a) * lo(b);
s0 = lo(x);
x = hi(a) * lo(b) + hi(x);
s1 = lo(x);
s2 = hi(x);
x = s1 + lo(a) * hi(b);
s1 = lo(x);
x = s2 + hi(a) * hi(b) + hi(x);
s2 = lo(x);
s3 = hi(x);
uint64_t result = s1 << 32 | s0;
uint64_t carry = s3 << 32 | s2;
}
Para ver que nenhuma das somas parciais si pode transbordar, consideramos o pior caso:
x = s2 + hi(a) * hi(b) + hi(x)
Let B = 1 << 32. Temos, então,
x <= (B - 1) + (B - 1)(B - 1) + (B - 1)
<= B*B - 1
< B*B
Eu acredito que isso vai funcionar - pelo menos ele lida com casos de teste de Sjlver. Afora isso, ele não foi testado (e pode até não compilar, como eu não tenho um compilador C ++ em mãos mais).
Outras dicas
A idéia é usar o seguinte fato que é verdadeiro para operação integral:
a*b > c se e somente se a > c/b
/ é a divisão integrante aqui.
O pseudocódigo para verificar contra estouro para números positivos seguintes:
if (a> max_int64 / b), em seguida, "overflow" else "ok" .
Para lidar com zeros e números negativos você deve adicionar mais verificações.
código C durante a não-negativo e b segue:
if (b > 0 && a > 18446744073709551615 / b) {
// overflow handling
}; else {
c = a * b;
}
Nota:
18446744073709551615 == (1<<64)-1
Para calcular realizar podemos usar abordagem ao número dividida em duas de 32 dígitos e multiplicá-los como fazemos isso no papel. Precisamos de números divididos ao transbordamento evitar.
código a seguir:
// split input numbers into 32-bit digits
uint64_t a0 = a & ((1LL<<32)-1);
uint64_t a1 = a >> 32;
uint64_t b0 = b & ((1LL<<32)-1);
uint64_t b1 = b >> 32;
// The following 3 lines of code is to calculate the carry of d1
// (d1 - 32-bit second digit of result, and it can be calculated as d1=d11+d12),
// but to avoid overflow.
// Actually rewriting the following 2 lines:
// uint64_t d1 = (a0 * b0 >> 32) + a1 * b0 + a0 * b1;
// uint64_t c1 = d1 >> 32;
uint64_t d11 = a1 * b0 + (a0 * b0 >> 32);
uint64_t d12 = a0 * b1;
uint64_t c1 = (d11 > 18446744073709551615 - d12) ? 1 : 0;
uint64_t d2 = a1 * b1 + c1;
uint64_t carry = d2; // needed carry stored here
Embora tenha havido várias outras respostas a esta pergunta, eu vários deles têm código que é completamente testado, e, até agora, ninguém comparou adequadamente as diferentes opções possíveis.
Por essa razão, eu escrevi e testado várias implementações possíveis (o último é baseado em este código de OpenBSD, discutido no Reddit aqui ). Aqui está o código:
/* Multiply with overflow checking, emulating clang's builtin function
*
* __builtin_umull_overflow
*
* This code benchmarks five possible schemes for doing so.
*/
#include <stddef.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>
#include <limits.h>
#ifndef BOOL
#define BOOL int
#endif
// Option 1, check for overflow a wider type
// - Often fastest and the least code, especially on modern compilers
// - When long is a 64-bit int, requires compiler support for 128-bits
// ints (requires GCC >= 3.0 or Clang)
#if LONG_BIT > 32
typedef __uint128_t long_overflow_t ;
#else
typedef uint64_t long_overflow_t;
#endif
BOOL
umull_overflow1(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
long_overflow_t prod = (long_overflow_t)lhs * (long_overflow_t)rhs;
*result = (unsigned long) prod;
return (prod >> LONG_BIT) != 0;
}
// Option 2, perform long multiplication using a smaller type
// - Sometimes the fastest (e.g., when mulitply on longs is a library
// call).
// - Performs at most three multiplies, and sometimes only performs one.
// - Highly portable code; works no matter how many bits unsigned long is
BOOL
umull_overflow2(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
const unsigned long HALFSIZE_MAX = (1ul << LONG_BIT/2) - 1ul;
unsigned long lhs_high = lhs >> LONG_BIT/2;
unsigned long lhs_low = lhs & HALFSIZE_MAX;
unsigned long rhs_high = rhs >> LONG_BIT/2;
unsigned long rhs_low = rhs & HALFSIZE_MAX;
unsigned long bot_bits = lhs_low * rhs_low;
if (!(lhs_high || rhs_high)) {
*result = bot_bits;
return 0;
}
BOOL overflowed = lhs_high && rhs_high;
unsigned long mid_bits1 = lhs_low * rhs_high;
unsigned long mid_bits2 = lhs_high * rhs_low;
*result = bot_bits + ((mid_bits1+mid_bits2) << LONG_BIT/2);
return overflowed || *result < bot_bits
|| (mid_bits1 >> LONG_BIT/2) != 0
|| (mid_bits2 >> LONG_BIT/2) != 0;
}
// Option 3, perform long multiplication using a smaller type (this code is
// very similar to option 2, but calculates overflow using a different but
// equivalent method).
// - Sometimes the fastest (e.g., when mulitply on longs is a library
// call; clang likes this code).
// - Performs at most three multiplies, and sometimes only performs one.
// - Highly portable code; works no matter how many bits unsigned long is
BOOL
umull_overflow3(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
const unsigned long HALFSIZE_MAX = (1ul << LONG_BIT/2) - 1ul;
unsigned long lhs_high = lhs >> LONG_BIT/2;
unsigned long lhs_low = lhs & HALFSIZE_MAX;
unsigned long rhs_high = rhs >> LONG_BIT/2;
unsigned long rhs_low = rhs & HALFSIZE_MAX;
unsigned long lowbits = lhs_low * rhs_low;
if (!(lhs_high || rhs_high)) {
*result = lowbits;
return 0;
}
BOOL overflowed = lhs_high && rhs_high;
unsigned long midbits1 = lhs_low * rhs_high;
unsigned long midbits2 = lhs_high * rhs_low;
unsigned long midbits = midbits1 + midbits2;
overflowed = overflowed || midbits < midbits1 || midbits > HALFSIZE_MAX;
unsigned long product = lowbits + (midbits << LONG_BIT/2);
overflowed = overflowed || product < lowbits;
*result = product;
return overflowed;
}
// Option 4, checks for overflow using division
// - Checks for overflow using division
// - Division is slow, especially if it is a library call
BOOL
umull_overflow4(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
*result = lhs * rhs;
return rhs > 0 && (SIZE_MAX / rhs) < lhs;
}
// Option 5, checks for overflow using division
// - Checks for overflow using division
// - Avoids division when the numbers are "small enough" to trivially
// rule out overflow
// - Division is slow, especially if it is a library call
BOOL
umull_overflow5(unsigned long lhs, unsigned long rhs, unsigned long* result)
{
const unsigned long MUL_NO_OVERFLOW = (1ul << LONG_BIT/2) - 1ul;
*result = lhs * rhs;
return (lhs >= MUL_NO_OVERFLOW || rhs >= MUL_NO_OVERFLOW) &&
rhs > 0 && SIZE_MAX / rhs < lhs;
}
#ifndef umull_overflow
#define umull_overflow2
#endif
/*
* This benchmark code performs a multiply at all bit sizes,
* essentially assuming that sizes are logarithmically distributed.
*/
int main()
{
unsigned long i, j, k;
int count = 0;
unsigned long mult;
unsigned long total = 0;
for (k = 0; k < 0x40000000 / LONG_BIT / LONG_BIT; ++k)
for (i = 0; i != LONG_MAX; i = i*2+1)
for (j = 0; j != LONG_MAX; j = j*2+1) {
count += umull_overflow(i+k, j+k, &mult);
total += mult;
}
printf("%d overflows (total %lu)\n", count, total);
}
Aqui estão os resultados, testando com vários compiladores e sistemas que tenho (neste caso, todos os testes foi feito no OS X, mas os resultados devem ser semelhantes em sistemas BSD ou Linux):
+------------------+----------+----------+----------+----------+----------+
| | Option 1 | Option 2 | Option 3 | Option 4 | Option 5 |
| | BigInt | LngMult1 | LngMult2 | Div | OptDiv |
+------------------+----------+----------+----------+----------+----------+
| Clang 3.5 i386 | 1.610 | 3.217 | 3.129 | 4.405 | 4.398 |
| GCC 4.9.0 i386 | 1.488 | 3.469 | 5.853 | 4.704 | 4.712 |
| GCC 4.2.1 i386 | 2.842 | 4.022 | 3.629 | 4.160 | 4.696 |
| GCC 4.2.1 PPC32 | 8.227 | 7.756 | 7.242 | 20.632 | 20.481 |
| GCC 3.3 PPC32 | 5.684 | 9.804 | 11.525 | 21.734 | 22.517 |
+------------------+----------+----------+----------+----------+----------+
| Clang 3.5 x86_64 | 1.584 | 2.472 | 2.449 | 9.246 | 7.280 |
| GCC 4.9 x86_64 | 1.414 | 2.623 | 4.327 | 9.047 | 7.538 |
| GCC 4.2.1 x86_64 | 2.143 | 2.618 | 2.750 | 9.510 | 7.389 |
| GCC 4.2.1 PPC64 | 13.178 | 8.994 | 8.567 | 37.504 | 29.851 |
+------------------+----------+----------+----------+----------+----------+
Com base nestes resultados, podemos tirar algumas conclusões:
- Claramente, a abordagem baseada em divisão, embora simples e portátil, é lento.
- Nenhuma técnica é um vencedor claro em todos os casos.
- Em compiladores modernos, o uso-a-maior-int abordagem é melhor, se você pode usá-lo
- Em compiladores mais antigos, a abordagem de longo multiplicação é melhor
- Surpreendentemente, GCC 4.9.0 tem regressões de desempenho ao longo do GCC 4.2.1 e GCC 4.2.1 tem regressões de desempenho ao longo do GCC 3.3
A versão que também funciona quando a == 0:
x = a * b;
if (a != 0 && x / a != b) {
// overflow handling
}
Se você não precisa apenas de detectar estouro, mas também para capturar o carry, você é melhor fora de quebrar seus números para baixo em partes de 32 bits. O código é um pesadelo; o que se segue é apenas um esboço:
#include <stdint.h>
uint64_t mul(uint64_t a, uint64_t b) {
uint32_t ah = a >> 32;
uint32_t al = a; // truncates: now a = al + 2**32 * ah
uint32_t bh = b >> 32;
uint32_t bl = b; // truncates: now b = bl + 2**32 * bh
// a * b = 2**64 * ah * bh + 2**32 * (ah * bl + bh * al) + al * bl
uint64_t partial = (uint64_t) al * (uint64_t) bl;
uint64_t mid1 = (uint64_t) ah * (uint64_t) bl;
uint64_t mid2 = (uint64_t) al * (uint64_t) bh;
uint64_t carry = (uint64_t) ah * (uint64_t) bh;
// add high parts of mid1 and mid2 to carry
// add low parts of mid1 and mid2 to partial, carrying
// any carry bits into carry...
}
O problema é não apenas os produtos parciais, mas o fato de que nenhuma das somas pode transbordar.
Se eu tivesse que fazer isso de verdade, eu ia escrever uma rotina estendeu-se multipliquem na linguagem assembly local. Isto é, por exemplo, multiplicar dois inteiros de 64 bits para obter um 128- resultado de bits, que é armazenada em dois registos de 64 bits. Todo o hardware razoável oferece essa funcionalidade em um único nativo multiplicam instrução de que não é apenas acessível a partir C.
Este é um dos raros casos em que a solução que é mais elegante e fácil de programa é realmente a linguagem assembly uso. Mas certamente não é portátil: - (
Eu tenho trabalhado com este problema este dia e eu tenho que dizer que me impressionou o número de vezes que eu vi pessoas dizendo que a melhor maneira de saber se houve um estouro é dividir o resultado, isso é totalmente ineficaz e desnecessário. O ponto para esta função é que ele deve ser o mais rápido possível.
Existem duas opções para a detecção overflow:
1º- Se possível criar a variável resultado duas vezes maior que os multiplicadores, por exemplo:
struct INT32struct {INT16 high, low;};
typedef union
{
struct INT32struct s;
INT32 ll;
} INT32union;
INT16 mulFunction(INT16 a, INT16 b)
{
INT32union result.ll = a * b; //32Bits result
if(result.s.high > 0)
Overflow();
return (result.s.low)
}
Você saberá inmediately se houve um estouro, eo código é o mais rápido possível sem escrevê-lo em código de máquina. Dependendo do compilador este código pode ser melhorado em código de máquina.
2º- É impossível criar uma variável de resultado duas vezes maior que a variável de multiplicadores: Então você deve jogar com se as condições para determinar o melhor caminho. Continuando com o exemplo:
INT32 mulFunction(INT32 a, INT32 b)
{
INT32union s_a.ll = abs(a);
INT32union s_b.ll = abs(b); //32Bits result
INT32union result;
if(s_a.s.hi > 0 && s_b.s.hi > 0)
{
Overflow();
}
else if (s_a.s.hi > 0)
{
INT32union res1.ll = s_a.s.hi * s_b.s.lo;
INT32union res2.ll = s_a.s.lo * s_b.s.lo;
if (res1.hi == 0)
{
result.s.lo = res1.s.lo + res2.s.hi;
if (result.s.hi == 0)
{
result.s.ll = result.s.lo << 16 + res2.s.lo;
if ((a.s.hi >> 15) ^ (b.s.hi >> 15) == 1)
{
result.s.ll = -result.s.ll;
}
return result.s.ll
}else
{
Overflow();
}
}else
{
Overflow();
}
}else if (s_b.s.hi > 0)
{
//Same code changing a with b
}else
{
return (s_a.lo * s_b.lo);
}
}
Espero que este código ajuda você a ter um programa bastante eficiente e espero que o código é claro, se não eu vou colocar algumas coments.
melhores cumprimentos.
Talvez a melhor maneira de resolver este problema é ter uma função, que multiplica duas UInt64 e resultados de um par de UInt64, uma parte superior e uma parte inferior do resultado UInt128. Aqui está a solução, incluindo uma função, que exibe o resultado em hexadecimal. Eu acho que você talvez prefira uma solução C ++, mas eu tenho uma Swift-solução de trabalho que mostra, como administrar o problema:
func hex128 (_ hi: UInt64, _ lo: UInt64) -> String
{
var s: String = String(format: "%08X", hi >> 32)
+ String(format: "%08X", hi & 0xFFFFFFFF)
+ String(format: "%08X", lo >> 32)
+ String(format: "%08X", lo & 0xFFFFFFFF)
return (s)
}
func mul64to128 (_ multiplier: UInt64, _ multiplicand : UInt64)
-> (result_hi: UInt64, result_lo: UInt64)
{
let x: UInt64 = multiplier
let x_lo: UInt64 = (x & 0xffffffff)
let x_hi: UInt64 = x >> 32
let y: UInt64 = multiplicand
let y_lo: UInt64 = (y & 0xffffffff)
let y_hi: UInt64 = y >> 32
let mul_lo: UInt64 = (x_lo * y_lo)
let mul_hi: UInt64 = (x_hi * y_lo) + (mul_lo >> 32)
let mul_carry: UInt64 = (x_lo * y_hi) + (mul_hi & 0xffffffff)
let result_hi: UInt64 = (x_hi * y_hi) + (mul_hi >> 32) + (mul_carry >> 32)
let result_lo: UInt64 = (mul_carry << 32) + (mul_lo & 0xffffffff)
return (result_hi, result_lo)
}
Aqui está um exemplo para verificar, que a função funciona:
var c: UInt64 = 0
var d: UInt64 = 0
(c, d) = mul64to128(0x1234567890123456, 0x9876543210987654)
// 0AD77D742CE3C72E45FD10D81D28D038 is the result of the above example
print(hex128(c, d))
(c, d) = mul64to128(0xFFFFFFFFFFFFFFFF, 0xFFFFFFFFFFFFFFFF)
// FFFFFFFFFFFFFFFE0000000000000001 is the result of the above example
print(hex128(c, d))
Aqui está um truque para detectar se a multiplicação de dois números inteiros sem sinal transborda.
Nós fazemos a observação de que se multiplicarmos um número em todo o N-bit binário com um bit-wide M-número binário, o produto não tem mais de N + M bits.
Por exemplo, se somos convidados a multiplicar um número de três bits com um número vinte e nove bit, sabemos que este não estouro de trinta e dois bits.
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
int might_be_mul_oflow(unsigned long a, unsigned long b)
{
if (!a || !b)
return 0;
a = a | (a >> 1) | (a >> 2) | (a >> 4) | (a >> 8) | (a >> 16) | (a >> 32);
b = b | (b >> 1) | (b >> 2) | (b >> 4) | (b >> 8) | (b >> 16) | (b >> 32);
for (;;) {
unsigned long na = a << 1;
if (na <= a)
break;
a = na;
}
return (a & b) ? 1 : 0;
}
int main(int argc, char **argv)
{
unsigned long a, b;
char *endptr;
if (argc < 3) {
printf("supply two unsigned long integers in C form\n");
return EXIT_FAILURE;
}
a = strtoul(argv[1], &endptr, 0);
if (*endptr != 0) {
printf("%s is garbage\n", argv[1]);
return EXIT_FAILURE;
}
b = strtoul(argv[2], &endptr, 0);
if (*endptr != 0) {
printf("%s is garbage\n", argv[2]);
return EXIT_FAILURE;
}
if (might_be_mul_oflow(a, b))
printf("might be multiplication overflow\n");
{
unsigned long c = a * b;
printf("%lu * %lu = %lu\n", a, b, c);
if (a != 0 && c / a != b)
printf("confirmed multiplication overflow\n");
}
return 0;
}
Um conhecimento dos testes: (em sistema de 64 bits):
$ ./uflow 0x3 0x3FFFFFFFFFFFFFFF 3 * 4611686018427387903 = 13835058055282163709 $ ./uflow 0x7 0x3FFFFFFFFFFFFFFF might be multiplication overflow 7 * 4611686018427387903 = 13835058055282163705 confirmed multiplication overflow $ ./uflow 0x4 0x3FFFFFFFFFFFFFFF might be multiplication overflow 4 * 4611686018427387903 = 18446744073709551612 $ ./uflow 0x5 0x3FFFFFFFFFFFFFFF might be multiplication overflow 5 * 4611686018427387903 = 4611686018427387899 confirmed multiplication overflow
As etapas might_be_mul_oflow são quase certamente mais lento do que simplesmente fazer o teste de divisão, pelo menos em processadores convencionais utilizados em estações de trabalho, servidores e dispositivos móveis. Em chips sem apoio divisão bom, poderia ser útil.
Ocorre-me que não há outra maneira de fazer este teste rejeição precoce.
-
Começamos com um par de números
arngebrngque são inicializados para0x7FFF...FFFFe1. -
Se
a <= arngeb <= brngpodemos concluir que não há excesso. -
Caso contrário, mudamos
arngpara a direita, ebrngdesvio para a esquerda, adicionando um pouco parabrng, para que eles sejam0x3FFF...FFFFe3. -
Se
arngé zero, acabamento; caso contrário, repetir a 2.
A função agora se parece com:
int might_be_mul_oflow(unsigned long a, unsigned long b)
{
if (!a || !b)
return 0;
{
unsigned long arng = ULONG_MAX >> 1;
unsigned long brng = 1;
while (arng != 0) {
if (a <= arng && b <= brng)
return 0;
arng >>= 1;
brng <<= 1;
brng |= 1;
}
return 1;
}
}
Se você quiser apenas para detectar excesso, como sobre a conversão para o dobro, fazendo a multiplicação e se
| x | <2 ^ 53, convertido ao int64
| x | <2 ^ 63, fazer a multiplicação usando int64
caso contrário, produzir qualquer erro que você quer?
Isso parece funcionar:
int64_t safemult(int64_t a, int64_t b) {
double dx;
dx = (double)a * (double)b;
if ( fabs(dx) < (double)9007199254740992 )
return (int64_t)dx;
if ( (double)INT64_MAX < fabs(dx) )
return INT64_MAX;
return a*b;
}
