Y combinator, бесконечные типы и анонимная рекурсия в Haskell

Question

Я пытался решить проблему задача о сумме максимальной подпоследовательности и придумал простое решение

msss :: (Ord a, Num a) => [a] -> a
msss = f 0 0

f gmax _ [] = gmax
f gmax lmax (x:xs) = 
  let g = max (lmax + x)
  in  f (g gmax) (g 0) xs

Вы вызываете функцию-оболочку msss, который затем вызывает f, который, в свою очередь, действительно выполняет эту работу.Решение хорошее, и afaik работает корректно.Если бы по какой-то причине мне пришлось решать задачу о максимальной сумме подпоследовательности в производственном коде, я бы сделал это именно так.

Однако эта функция-оболочка действительно доставает меня.Мне нравится, как в haskell, если вы достаточно настойчивы, вы можете написать всю свою программу в одной строке, чтобы по-настоящему донести мысль о том, что программа - это в значительной степени всего лишь одно большое выражение.Поэтому я решил, что попробую исключить функцию-оболочку для дополнительной задачи.

Именно сейчас я сталкиваюсь с классической проблемой:Как выполнить анонимную рекурсию?Как вы выполняете рекурсию, когда не можете давать имена функциям?К счастью, отцы вычислительной техники решили эту проблему давным-давно, открыв Комбинаторы с фиксированной точкой, причем наиболее популярным из них является Y - Комбинатор.

Я предпринимал различные попытки настроить Y combinator, но они не могут пройти мимо компилятора.

msss' :: [Int] -> Int
msss' = (\y f x -> f (y y f) x) 
        (\y f x -> f (y y f) x) 
        (\g' gmax lmax list -> if list == [] 
                               then gmax 
                               else g' (max gmax lmax + head list) 
                                       (max 0    lmax + head list) 
                                       tail list)

просто дает

Prelude> :l C:\maxsubseq.hs
[1 of 1] Compiling Main             ( C:\maxsubseq.hs, interpreted )

C:\maxsubseq.hs:10:29:
    Occurs check: cannot construct the infinite type:
      t0 = t0 -> (([Int] -> Int) -> [Int] -> Int) -> [Int] -> Int
    In the first argument of `y', namely `y'
    In the first argument of `f', namely `(y y f)'
    In the expression: f (y y f) x

C:\maxsubseq.hs:11:29:
    Occurs check: cannot construct the infinite type:
      t0 = t0 -> (([Int] -> Int) -> [Int] -> Int) -> [Int] -> Int
    In the first argument of `y', namely `y'
    In the first argument of `f', namely `(y y f)'
    In the expression: f (y y f) x

C:\maxsubseq.hs:12:14:
    The lambda expression `\ g' gmax lmax list -> ...'
    has four arguments,
    but its type `([Int] -> Int) -> [Int] -> Int' has only two
    In the second argument of `\ y f x -> f (y y f) x', namely
      `(\ g' gmax lmax list
          -> if list == [] then
                 gmax
             else
                 g' (max gmax lmax + head list) (max 0 lmax + head list) tail list)'
    In the expression:
      (\ y f x -> f (y y f) x)
        (\ y f x -> f (y y f) x)
        (\ g' gmax lmax list
           -> if list == [] then
                  gmax
              else
                  g' (max gmax lmax + head list) (max 0 lmax + head list) tail list)
    In an equation for `msss'':
        msss'
          = (\ y f x -> f (y y f) x)
              (\ y f x -> f (y y f) x)
              (\ g' gmax lmax list
                 -> if list == [] then
                        gmax
                    else
                        g' (max gmax lmax + head list) (max 0 lmax + head list) tail list)
Failed, modules loaded: none.

Переходя от f (y y f) Для f (y f) просто дает

C:\maxsubseq.hs:11:29:
    Couldn't match expected type `[Int] -> Int'
                with actual type `[Int]'
    Expected type: (([Int] -> Int) -> t1 -> t0) -> t2 -> t0
      Actual type: ([Int] -> Int) -> t1 -> t0
    In the first argument of `y', namely `f'
    In the first argument of `f', namely `(y f)'
Failed, modules loaded: none.

Я попытался применить другой подход, просто определив комбинатор извне, однако это все еще не работает и на самом деле не соответствует моей задаче сделать это в одном выражении.

y f = f (y f)

msss' :: [Int] -> Int
msss' = y (\g' gmax lmax list -> if list == [] 
                                 then gmax 
                                 else g' (max gmax lmax + head list) 
                                         (max 0    lmax + head list) 
                                         tail list)

Можете ли вы определить, что не так в том, что я делаю?Я в растерянности.Жалобы на построение бесконечных типов действительно выводят меня из себя, потому что я думал, что Haskell был полностью посвящен подобным вещам.Он имеет бесконечные структуры данных, так в чем же проблема с бесконечными типами?Я подозреваю, что это как-то связано с тем парадоксом, который показал, что нетипизированное лямбда-исчисление непоследовательно.Хотя я не уверен.Было бы хорошо, если бы кто-нибудь мог уточнить.

Кроме того, у меня сложилось впечатление, что рекурсию всегда можно представить с помощью функций fold.Кто-нибудь может показать мне, как я мог бы сделать это, просто используя сгиб?Однако требование о том, чтобы код представлял собой одно выражение, по-прежнему остается в силе.

Answer 1

Вы не можете определить Y combinator подобным образом в Haskell.Как вы заметили, это приводит к бесконечному типу.К счастью, он уже доступен в Data.Function как fix, где это определяется с помощью let обязательный:

fix f = let x = f x in x

Answer 2

Поскольку Y combinator нуждается в бесконечных типах, вам понадобятся обходные пути как этот.

Но я бы написал тебе msss функционируйте как однострочник, подобный этому:

msss = fst . foldr (\x (gmax, lmax) -> let g = max (lmax + x) in (g gmax, g 0)) (0, 0)

Answer 3

Что ж, давайте подумаем об этом минутку.Какой тип имеет это лямбда-выражение?

(\y f x -> f (y y f) x)

Что ж f является функцией (a -> b) -> a -> b, и x есть какая-то ценность b.Что это значит y?Ну, учитывая то, что мы только что сказали о f,

(y y f) :: (a -> b)

Кроме того, поскольку мы применяем это выражение к самому себе, мы знаем, что y имеет тот же тип, что и все выражение целиком.Это та часть, где я становлюсь немного в тупик.

Итак y это какая-то волшебная функция более высокого порядка.И он принимает две функции в качестве входных данных.Так что это что-то вроде y :: f1 -> f2 -> f3. f2 имеет вид f, и f3 имеет тип результата, упомянутый выше.

y :: f1 -> ((a -> b) -> a -> b) -> (a -> b)

Вопрос в том...что такое f1?Что ж, так и должно быть такой же, как и тип y.Вы понимаете, насколько это выходит за рамки возможностей системы типов Haskell?Тип определяется в терминах самого себя.

f1 = f1 -> ((a -> b) -> a -> b) -> (a -> b)

Если вам нужен автономный "однострочник", то вместо этого воспользуйтесь предложением хаммара:

msss' = (\f -> let x = f x in x) 
        (\g' gmax lmax list -> case list of
            [] -> gmax
            (x:xs) -> g' (max gmax lmax + x) (max 0 lmax + x) xs
        ) 0 0

Хотя имхо, если max допустимо, тогда fix из данных.Функция также должна быть допустимой.Если только вы не участвуете в каком-нибудь конкурсе только для прелюдии.