Алгоритм Гровера на вероятностных классических машинах

Question

Как отправная точка для этого вопроса, я наткнулся на набом Этот вопрос , который AIUI цитирует конструкцию, показывающую, как имитировать квантовые схемы с помощью $ PP $ алгоритм, то есть подразумевая квантовые вычисления в целом находится в $ pp $ .

Тем не менее, это поразило меня как осторожно, чтобы сказать, что только только способ реализации конкретного примера QC, например, алгоритм Grover, будет делать это, эмулируя квантовый компьютер и запустить его там Отказ Затем я пытался представить, что реализует его более естественно, например, например, например, Операции с точки зрения элементов списка непосредственно вместо преобразования их в квантовый вектор состояния.

для фона, я понимаю, что не- алгоритмы $ BPP $ Algorithm в $ pp $ разрешено Будьте в церном порядке близко к случайным, и поэтому нам потенциально надо повторять их экспоненциально много раз, чтобы прийти к любой конкретной уверенности в своем ответе. Я специально заинтересован в том, что такое итерация (то, что затем необходимо повторить экспоненциально много раз) из алгоритма подобного мородеру. Полагаю, из того факта, что перевод в связанной ните составляет 1-1, что эта единая итерация должна будет принимать $ O (\ SQRT N) $ Время , но, пожалуйста, дайте мне знать, если этот вывод неверен.

(Я также предполагаю, что этот алгоритм, похожий на Grover - не в $ BPP $ , потому что в противном случае теория поиска будет очень разные. Это находясь за пределами $ BPP $ означает, что мы говорим о алгоритме поиска, который на практике занимает $ O (2 ^ \ sqrt n) $ time, который не собирается революционизировать что-либо.)

Также, поскольку $ PP $ обычно определяется с точки зрения проблем с двоичными решениями, а алгоритм Гровера не один, мне пришлось слегка экстраполировать о том, что выглядит критерии успеха Как в $ pp $ , а не $ BQP $ Context. Критерии, которые я предварительно придумал, состоит в том, что алгоритм должен быть создан и выбрать из распределения вероятностей по адресу $ n $ элементов списка, с тем, что наиболее Вероятный предмет, который будет выбран, - это элемент (A, если более одного), отмеченный функцией Oracle, то есть она имеет пункт, , но не обязательно большинство , массы вероятности.

Это имеет очевидные предостережения, которые, поскольку список в целом содержит более двух элементов, это не более вероятно, чем не то, что этот элемент выбирается, только то, что ни один элемент не скорее всего. Разница в вероятности между большинством и вторыми наиболее вероятными предметами выбранными предметами также разрешается быть в церном масштабе. Алгоритм, который возвращает отмеченный элемент из списка $ n $ с вероятностью $ \ frac {1} {n} + 2 ^ {- n} $ будет допущена до тех пор, пока все остальные элементы были менее вероятными.

Есть ли какие-либо существующие работы по алгоритмам, которые достигают соответствующего результата как (или аналогичные определенные квантовые алгоритмы), но в более прямых / естественных условиях?

Answer 1

Пусть $ f $ Будьте функции, которая отображает целые числа из $ 0 \ Dots N - 1 $ $ \ {0, 1 \} $ . Мы хотим найти $ x $ (который обещан быть уникальным) такое, что:

$$ f (x)= 1 $$

Теперь давайте возьмем два случайных целых числа $ a $ и $ B $ от $ 0 \ dots n - 1 $ и вывод:

1. $ b $ , если $ f (a)= 0 $
2. $ a $ , если $ f (a)= 1 $

Для любого фиксированного $ x $ и $ y $ У нас есть:

$$ p_ {a= x}= p_ {b= x}= p_ {a= y}= p_ {b= y}=frac {1} {n } \\ P_ {a \ ne x}= p_ {b \ ne x}= p_ {a \ ne y}= p_ {b \ ne y}=frac {n - 1} {n} $$ .

Знание того, что $ a $ и $ B $ являются независимыми случайными переменными, вероятность, которую мы выводим $ x $ - это

$$ p_ {a= x \ lor a \ ne x \ land b= x}= P_ {a= x} + p_ {a \ ne x} p_ {b= x}= \ frac {1} {n} + \ frac {n - 1} {n ^ 2} $$

и вероятность, которую мы выводим некоторое другое значение $ y \ ne x $

$$ p_ {a \ ne x \ land b= y}= p_ {a \ ne x} p_ {b= y}= \ frac {n - 1} {n ^ 2} <\ frac {1} {n} $$