Является ли класс BPP для союза и пересечения?

Question

Так же, как титул говорит.Я хочу доказать, что дали два языка $ l_1, l_2 \ in bpp $ , $ l_1 \ cup l_2 \ in bpp $ и $ l_1 \ cap l_2 \ in bpp $

Answer 1

Пусть $ t_1 $ (соответственно класс $ t_2 $ ) Пробабилистическая машина Turging Вероятность ошибки на большинстве $ 1/3 $ для $ l_1 $ (соответственно -Контассера "> $ l_2 $ ).

Пусть $ t'_1 $ (соответственно. $ t'_2 $ ) Быть Turging Machine Для $ l_1 $ (соответственно. $ l_2 $ ), полученный запуском $ t_2 $ ) $ 9 $ Times и возвращение Результат большинства. Вероятность ошибки $ t'_1 $ (соответственно. $ t'_2 $ ) Spaness Class="Math-Container"> $ p_f=sum_ {i= 5} ^ 9 \ binom {9} {i} (1/3) ^ i (2/3) ^ {9-I} <\ frac {1} {6} $ .

Turging Machine для $ l_1 \ cup l_2 $ (соотв. $ l_1 \ cap l_2 $ ) Симулирует $ t'_1 $ и $ t'_2 $ и принимает, если и только если хотя бы один (соответственно. Оба) $ t'_1 $ и $ t'_2 $ Принять. По оценке профсоюза вероятность ошибки этого Turging Machine находится на большинстве $ 2 \ CDOT P_F <2 \ CDOT \ FRAC {1} {6}=FRAC {1} {3 } $ .