Сколько пунктов требуется для SAT, чтобы быть NP-Hard в формулах CNF?
-
29-09-2020 - |
Вопрос
Нетрудно видеть, что SAT для формулы CNF с $ n $ Переменные и постоянное количество пунктов могут быть решены в полиноме. С другой стороны, трудно увидеть, что формула CNF с
Мы могли бы определить это формально, как $ \ text {cnfsat} -f- \ text {cnfsat} $ , семейство проблем, параметризованных функцией $ F $ , в котором экземпляры являются формулами в Cnf такими, что если у них есть $ n $ переменные, то они имеют в Большинство $ f (n) $ пункты. Исходя из этого, что я хотел бы знать, это то, что такое самая маленькая функция $ G $ такой, что мы знаем, что существует, существует $ f \ in o (g) $ такой, что $ \ text {cnfsat} -f- \ text {cnfsat} $ уже np-hard. Мы знаем, что G= 1 (постоянный # положения) не работает, а $ g= n $ (линейное количество пунктов) работает.
Как насчет $ g=log n $ ? Есть ли простые алгоритм для CNFSAT по формулам, имеющим $ O (\ lg \ lg n) $ clauses?
Решение
нижняя граница. для $ g \ le c \ cdot \ sqrt {\ log n} $ существует алгоритм полинома Отказ Идея заключается в следующем: если некоторые пункты имеют слишком много переменных, то следует тривиально выбрать некоторую переменную, чтобы удовлетворить этот пункт, не повреждая положения с несколькими переменными. Мы повторяем следующее:
Найти пункт с наименьшим количеством переменных. Пусть $ x_1, \ ldots, x_k $ Будьте переменными, участвующие в этом пункте.
- .
- Если $ k> g $ , то вся формула удовлетворялась (мы обрабатываем предложения по одному и выберите переменную, которую мы не выбрали раньше).
- В противном случае мы удаляем предложение. Мы также удаляем $ x_1, \ ldots, x_k $ от всех других пунктов.
Теперь мы должны удовлетворить удаленные пункты. Поскольку на большинстве $ g $ пункты, и каждый из них представляет максимально $ g $ Новые переменные, Это означает, что в большинстве $ g ^ 2= c ^ 2 \ cdot \ log n $ Переменные в целом. Следовательно, есть больше всего $ n ^ {c ^ 2} $ Переменные комбинации, и мы можем просто использовать грубую силу.
<Сильная> Условная верхняя граница. Это почти плотно в следующем смысле.
$$ \ alpha ^ {\ frac {\ log ^ {1+ \ epsilon} n} c}= n ^ {\ frac {\ log ^ \ epsilon n \ cdot \ log \ alpha} {c}}, $$
который является супер-полином.