Счетные цепи с ограничениями

Question

Пожалуйста, простите меня, если этот вопрос тривиален, я не мог придумать ответ (ни найти один).

Для того, чтобы показать, что существуют булевые функции $ f: \ {0,1 \} ^ n \ prightarrow \ {0,1 \} $ который может Быть вычисленным только с использованием цепей размера $ \ Omega (2 ^ n / n) $ , мы используем подсчетющую аргумент: в большинстве случаев $ o (2 ^ {k \ log k}) $ Схемы размера $ k $ и $ 2 ^ {2 ^ n} $ такие функции.

Предположим, что меня интересует счетные схемы размера $ K $ , которые вычисляют различные функции. «Простой» подсчет аргумента не будет работать, поскольку возможно, возможно, что два «синтаксически» различных цепях фактически вычисляют ту же функцию. Другими словами, я хочу связать размер набора: $$ f={f: \ {0,1 \} ^ n \ prightarrow \ {0,1 \} |. F \ Text {можно вычислить с помощью цепи размера} k \} $$

Тогда $ | f | <$ Количество цепей размера $ K $ (поскольку любая цепь вычисляет одну функцию), но как я могу связаться $ | f | $ снизу? (I.e. $ x <| f | $ )

Answer 1

Для того, чтобы связать количество функций, вычисляемых цепями размера $ K $ , у вас есть как минимум два варианта:

.
• построить большое количество цепей размера $ k $ , который по строительству вычисляет разные функции.
• Рассмотрим естественное распределение вероятностей на схемы размера $ K $ , и оценить вероятность того, что две случайные цепи вычислить ту же функцию.

В качестве примера известно, что каждая функция на $ m $ переменных может быть вычислена с помощью цепи размера $ O (2 ^ м / м) $ . При рассмотрении функций формы $ f_1 (x_1, \ ldots, x_m) \ lor \ cdots \ lor f_ {n / m} (x_ {n-m + 1}, \ ldots , x_n) $ , это показывает, что есть как минимум $ (2 ^ {2 ^ m}) ^ {n / m} $ Разные функции вычисленные по схемам размера $ k= o (n2 ^ m / m ^ 2) $ . С точки зрения $ K $ , количество функций примерно экспонентоспособно в $ k \ log k $ , Для $ m \ gg \ log n $ .