подгонка параметров ODE при использовании решателя ODE octave / matlab

Question

Я использую OdePkg в Octave для решения системы жестких ODE, напримеравтор ode5r:

function yprime = myODEs(t,Y,param)
    yprime = [
        - param(1) * Y(1);                      # ODE for Y(1)
        param(1) * Y(1) - param(2) Y(2) * Y(3); # ODE for Y(2)
        param(2) Y(2) * Y(3)                    # ODE for Y(3)
                                                # etc.
];

time_span = [1, 24]         # time span of interest
Y0        = [1.0, 1.1, 1.3] # initial values for dependent variables Y
param     = [7.2, 8.6, 9.5] # parameters, to be optimized

[t, Y] = ode5r(@myODEs, time_span, Y0, ..., param);

Решатель сохраняет зависимые переменные Y в матрице относительно времени t (вектор):

t     Y(1)  Y(2)  Y(3)
0.0   1.0   1.1   1.3
0.1   ...   ...   ...
0.5   ...   ...   ...
0.9   ...   ...   ...
...   ...   ...   ...
4.0   ...   ...   ...
...   ...   ...   ...
24.0  ...   ...   ...

Я хочу подогнать параметры в param, чтобы результирующие переменные Y наилучшим образом соответствовали моим эталонным значениям, например:

t         Y(1)  Y(2)  Y(3)
0.5       1.1   N/A   N/A
1.0       1.9   N/A   N/A
4.0       2.3   2.7   2.1
5.0       N/A   2.6   2.2
24.0      0.9   1.5   2.0

Какая процедура Octave / Matlab (другие языки приветствуются) может выполните многопараметрическую подгонку (наименьший квадрат / сплайн)?Как это возможно, чтобы объедините наборы параметров для разных начальных значений Y0 в припадке?Я был бы рад, если бы вы могли дать мне несколько советов и возможностей.

С наилучшими пожеланиями, Саймон

Answer 1

С scipy это должно быть относительно просто. scipy.optimize.leastsq() принимает функцию, которая должна возвращать массив остатков для заданного вектора параметров.Это сведет к минимуму сумму квадратов остатков.Чтобы обрабатывать несколько наборов данных с разными начальными значениями, вы просто запускаете ODE один раз для каждого набора данных, вычисляете остатки для каждой пары набор данных / запуск, а затем объединяете остаточные векторы вместе.Вот приблизительный набросок:

import numpy
from scipy import integrate, optimize

# The initial guess.
p0 = numpy.array([7.2, 8.6, 9.5])

# The collected datasets.
# A list of (t, y0, y) tuples.
# The y's are all (len(y0), len(t))-shaped arrays. The output of
# integrate.odeint is also in this format.
datasets = [...]

def odes(y, t, params):
    dydt = [
        -params[0] * y[0],
        params[0]*y[0] - params[1]*y[1]*y[2],
        params[1]*y[1]*y[2],
    ]
    return np.array(dydt)

def residuals(params, datasets):
    res = []
    for t, y0, y in datasets:
        res.append(integrate.odeint(odes, y0, t, args=(params,)) - y)

    # Stack them horizontally and flatten the array into the expected vector.
    # You're on your own for handling missing data. Look into the numpy.ma
    # module.
    all_residuals = numpy.hstack(res).ravel()
    return all_residuals

opt_params, err = optimize.leastsq(residuals, p0, args=(datasets,))

Answer 2

Вы имеете в виду, что каждая функция y (t) должна быть установлена?В этом случае подгонка арендуемых квадратов или сплайнов для каждого набора Yi в зависимости от времени будет работать просто отлично.Не могу сказать, какой из них был бы лучшим, не видя ваших данных.

Вам придется придумать другую независимую переменную, если вы имеете в виду, что хотите подогнать кривую под все значения Yi для данного момента времени, а затем наблюдать, как эта кривая развивается с течением времени.

Обновить:Подгонка по методу наименьших квадратов - вот что это такое - у меня нет конкретной процедуры, которую я мог бы порекомендовать. У Сципи есть один, Я уверен.Мне жаль, что у меня нет лучшей рекомендации.Я только сейчас изучаю Python.

Я не знаю, что вы подразумеваете под "показателем пригодности".Подгонка по методу наименьших квадратов вычисляет коэффициенты, которые минимизируют среднеквадратичную ошибку между подгонкой и данными в каждой точке.

Всего лишь один способ объединить несколько наборов данных в единую подгонку:объедините их и повторно запустите вычисление.

Answer 3

Я разработал комплексный набор инструментов Matlab для подгонки параметров и начальных значений ODE к нескольким наборам экспериментальных данных.Он может обрабатывать различные начальные значения в зависимости от каждого эксперимента и доступен по адресу www.potterswheel.de.