Как equidistant Resample линия (или кривая)?

Question

У меня есть линия l_1 дано с серии точек p_1,...,p_n. Отказ Теперь я хочу новую линию l_2 иметь k точки: q_1,...,q_k. Но для всех i \in {1,...,k-1}: abs( q_i - q_i+1 ) = const, что означает сегменты l_2 равных или равномерных.

• k >= 2
• и p_1 и p_n должен быть в l_2.
• abs( p_i - p_i+1 ) не конденс

Одним из решений является приближение строки с помощью сплайна, а затем снова подгружайтесь на это, чтобы иметь единую длину сегменты. Могу ли я сделать лучше? Есть ли код C ++ для этого?

Ах, я пропустил определенную деталь: те q_i должно быть внутри l_1, значение либо они находятся на линии сегментов l_1 Или они являются образцами l_1.

Answer 1

Использование параметрической функции

Вы можете определить кусочно-параметрическую функцию:

 f[t_] := Piecewise[
      When x[i] <= t <= x[i + 1]

         f[t]= (y[i+1]-y[i]) (t - x[i]) / (x[i+1]-x[i]) + y[i], 

      For {i, 1 ... N};

Затем выберите свои очки Q, идеально расположенные меньше, чем минимальный P [I + 1] -P [I

Наконец образец f [q] при равных интервалах T.

Результат образца:

Здесь вы можете увидеть эффект уменьшения размера интервала от самого большого до самого маленького в исходном образце:

Вы можете оценить доброе приближение, добавляя области (интеграцию) между оригинальными и повторными избранными кривыми:

Если вы постройте интегралы для различных размеров интервалов, вы можете решить, какая хорошая выборка:

Просто для записи код в Mathematica:

a = 0;
p = Table[{   a = a + RandomReal[], RandomReal[]}, {10}];
f[t_, h_] := Piecewise[Table[{(h[[i + 1, 2]] - h[[i, 2]]) (t - h[[i, 1]]) /
                              (h[[i + 1, 1]] - h[[i, 1]]) + h[[i, 2]],
                       h[[i, 1]] <= t <= h[[i + 1, 1]]}, 
                       {i, 1, Length[h] - 1}]];

minSeg[h_] := Min[Table[Norm[h[[i, 1]] - h[[i + 1, 1]]], {i, Length[h] - 1}]];

newSegSize[h_] := (h[[Length@h, 1]] - h[[1, 1]])/
                  Ceiling[(h[[Length@h, 1]] - h[[1, 1]])/minSeg[h]]

qTable = Table[{t, f[t, p]}, {t, p[[1, 1]], p[[Length@p, 1]], newSegSize[p]}];

Редактировать: Отвечая на ваш комментарий

Комментарий кода PGM:

a = 0; (* Accumulator to ensure an increasing X Value*)

p = Table[{a = a + RandomReal[], 
    RandomReal[]}, {10}]; (*Generates 10 {x,y} Rnd points with \
                            increasing x Value*)

f[t_, h_] :=  (* Def. a PWise funct:
                Example of resulting function:
                     f[t,{{1,2},{2,2},{3,4}}]
                Returns teh following function definition:

                    Value          for Range
                     2             1<=t<=2
                 2+2*(-2+t)        2<=t<=3
                     0             True
              *)
  Piecewise[
   Table[{(h[[i + 1, 2]] - 
           h[[i, 2]]) (t - h[[i, 1]])/(h[[i + 1, 1]] - h[[i, 1]]) + h[[i, 2]],
           h[[i, 1]] <= t <= h[[i + 1, 1]]},
           {i, 1, Length[h] - 1}]];

  minSeg[h_] := (* Just lookup the min input point separation*)
               Min[Table[Norm[h[[i, 1]] - h[[i + 1, 1]]], {i, Length[h] - 1}]];

  newSegSize[h_] := (* Determine the new segment size for having
                       the full interval length as a multiple of the
                       segment size *)
                   (h[[Length@h, 1]] - h[[1, 1]])/
                    Ceiling[(h[[Length@h, 1]] - h[[1, 1]])/minSeg[h]]

   qTable =     (*Generates a table of points using the PW function *)
         Table[
               {t, f[t, p]},
               {t, p[[1, 1]], p[[Length@p, 1]],newSegSize[p]}];

   ListLinePlot[{qTable, p}, PlotStyle -> {Red, Blue}] (*Plot*)

Answer 2

Это зависит от ваших точек линии - что они? Если они определяют гладкую строку, то повторное повторное использование кубического сплайна - хорошая ставка.

По сути, если вы делаете Equidistant Points, вам нужно определить то, что вы хотите увидеть между точками - это гладкость важнее, чем пребывание в оригинальной строке? Есть ли ограничение скорости?

Насколько я вижу, вы, вероятно, получите здесь итеративный процесс, потому что если ваши исходные точки определяют гладкую строку, не просто рассчитать даже длину этой линии, не говоря уже о том, чтобы разделить это на равные части и определить координаты этих точек.

Если вы используете кубические сплайны, для каждого сплайна вы должны быть в состоянии рассчитать ее длину через формулу на Статья дуги Википедии. Отказ Тем не менее, это требует от вас интеграции - когда вы делаете численную интеграцию, это известно как «квадратура'. Для кубики (для расчета длины линейного сегмента между двумя исходными точками) это должно быть в конечном итоге в качестве взвешенной суммы коэффициентов кубического сплайна - особенно если вы используете гауссовую квадратуру.

Тем не менее, вы, вероятно, могли получить разумный ответ, используя кусочно-кубические многочлены (генерируют кубический полиномиальный от 2 баллов, а 2 балла в обеих сторонах), так и итерационный алгоритм, который улучшает догадывание значений XI, чтобы дать эквидистантные точки. Но это предполагает, что вы хотите скорость, а не точность.