Как рассчитать собственного вектора колонны стохастическая матрица в C ++

Question

У меня есть столбец стохастической матрицы A и хочу решить следующее уравнение в C ++: AX = X

Я предполагаю, что мне нужно выяснить собственногоVector x, где установлено значение EigenValue 1 (справа?) Но я не мог понять это в C ++. До сих пор я проверил несколько математических ливок, таких как Seldon, CPPScalaPack, Eigen ... Среди них, EIGEN, кажется хорошим вариантом, но я не мог понять, как использовать любой из них, чтобы решить уравнение выше.

Можете ли вы дать мне некоторые предложения / кодовые фрагменты или идеи для решения уравнения? Любая помощь высоко ценится.

Спасибо.

Редактировать: A N-BY-N Real, неотрицательная матрица.

Answer 1

Имейте в виду, что я не использовал собственную, но его EigenSolver а также SelfAdjointEigenSolver Посмотрите, чтобы быть в состоянии решить это. Они перечислены как «экспериментальные», поэтому могут быть ошибки, а API может измениться в будущем.

// simple, not very efficient
template <typename _M> 
bool isSelfAdjoint(const _M& a) {
    return a == a.adjoint();
}

template <typename _M> 
std::pair<Eigen::EigenSolver<_M>::EigenvalueType Eigen::EigenSolver<_M>::EigenvectorType>
eigenvectors(const _M& a) {
    if (isSelfAdjoint(a)) {
        Eigen::EigenSolver<M> saes(a);
        return pair(saes.eigenvalues(), saes.eigenvectors());
    } else {
        Eigen::EigenSolver<M> es(a);
        return pair(es.eigenvalues, es.eigenvectors());
    }
}

Два класса Solver имеют разные типы для ценностей собственного значения и натуральные коллекции, но поскольку они оба основаны на матрице класса, так и матрицы, являются кабриолетными, то вышесказанное он должен работать.

В качестве альтернативы вы можете подойти к проблеме как однородное линейное уравнение (АИ._N.) Икс = 0, который можно решить путем преобразования AI_N. к верхней треугольной матрице. Гауссовская ликвидация Сделал это (хотя вам нужно будет пропустить нормализующий шаг для каждой строки, где вы убедитесь, что ведущий коэффициент - 1, так как целые числа не являются полем). Быстрый прочность вышеуказанных проектов не оказался поддержкой преобразования row Echelon, который, вероятно, означает, что я пропустил его. В любом случае, не слишком сложно реализовать с несколькими классами помощников (RowMajor, RowMajor::iterator, RowWithPivot В следующих). Я даже не проверил, будет ли это скомпилировать, поэтому возьмите его как более иллюстрацию алгоритма, чем полное решение. Хотя образец использует функции, возможно, имеет больше смысла использовать класс (a a a Eigensolver).

/* Finds a row with the lowest pivot index in a range of matrix rows.
 * Arguments:
 * - start: the first row to check 
 * - end:   row that ends search range (not included in search)
 * - pivot_i (optional): if a row with pivot index == pivot_i is found, search 
 *     no more. Can speed things up if the pivot index of all rows in the range
 *     have a known lower bound.
 *
 * Returns an iterator p where p->pivot_i = min([start .. end-1]->pivot_i)
 *
 */
template <typename _M>
RowMajor<_M>::iterator 
find_lead_pivot (RowMajor<_M>::iterator start,
                 const RowMajor<_M>::iterator& end,
                 int pivot_i=0) 
{
    RowMajor<_M>::iterator lead=start;
    for (; start != end; ++start) {
        if (start->pivot() <= pivot_i) {
            return start;
        }
        if (start->pivot() < lead->pivot()) {
            lead = start;
        }
    }
    return end;
}

/* Returns a matrix that's the row echelon form of the passed in matrix.
 */
template <typename _M>
_M form_of_echelon(const _M& a) {
    _M a_1 = a-_M::Identity();
    RowMajor<_M> rma_1 = RowMajor<_M>(a_1);
    typedef RowMajor<_M>::iterator RMIter;
    RMIter lead;
    int i=0;

    /*
      Loop invariant: row(i).pivot_i <= row(j).pivot_i, for j st. j>i
     */
    for (RMIter row_i = rma_1.begin(); 
         row_i != rma_1.end() && row_i->pivot() != 0; 
         ++row_i, ++i) 
    {
        lead = find_lead_pivot(row_i, rma_1.end(), i);
        // ensure row(i) has minimal pivot index
        swap(*lead, *row_i);

        // ensure row(j).pivot_i > row(i).pivot_i
        for (RMIter row_j = row_i+1; 
             row_j != rma_1.end(); 
             ++row_j) 
        {
            *row_j = *row_j * row_i->pivot() - *row_i * row_j->pivot();
        }
        /* the best we can do towards true row echelon form is reduce 
         * the leading coefficient by the row's GCD
         */
        // *row_i /= gcd(*row_i);
    }
    return static_cast<_M>(rma_1);
}

/* Converts a matrix to echelon form in-place
 */
template <typename _M>
_M& form_of_echelon(_M& a) {
    a -= _M::Identity();
    RowMajor<_M> rma_1 = RowMajor<_M>(a);
    typedef RowMajor<_M>::iterator RMIter;
    RMIter lead;
    int i=0;

    /*
      Loop invariant: row(i).pivot_i <= row(j).pivot_i, for j st. j>i
     */
    for (RMIter row_i = rma_1.begin(); 
         row_i != rma_1.end() && row_i->pivot() != 0; 
         ++row_i, ++i) 
    {
        lead = find_lead_pivot(row_i, rma_1.end(), i);
        // ensure row(i) has minimal pivot index
        swap(*lead, *row_i);

        for (RMIter row_j = row_i+1; 
             row_j != rma_1.end(); 
             ++row_j) 
        {
            *row_j = *row_j * row_i->pivot() - *row_i * row_j->pivot();
        }
        /* the best we can do towards true row echelon form is reduce 
         * the leading coefficient by the row's GCD
         */
        // *row_i /= gcd(*row_i);
    }
    return a;
}

Интерфейсы для классов помощников, которые не были связаны с корректностью Const-Trearness и другие необходимые детали, которые делают работу C ++.

template <typename _M>
class RowWithPivot {
public:
    typedef _M::RowXpr Wrapped;
    typedef _M::Scalar Scalar;

    RowWithPivot(_M& matrix, size_t row);

    Wrapped base();
    operator Wrapped();

    void swap(RowWithPivot& other);

    int cmp(RowWithPivot& other) const;
    bool operator <(RowWithPivot& other) const;

    // returns the index of the first non-zero scalar
    // (best to cache this)
    int pivot_index() const;
    // returns first non-zero scalar, or 0 if none
    Scalar pivot() const;
};

template <typename _M, typename _R = RowWithPivot<_M> >
class RowMajor {
public:
    typedef _R value_type;

    RowMajor(_M& matrix);

    operator _M&();
    _M& base();

    value_type operator[](size_t i);

    class iterator {
    public:
        // standard random access iterator
        ...
    };

    iterator begin();
    iterator end();
};