خوارزمية idempotent الجبر

Question

يمكن تحويل التعبير الجبري المنطقي إلى جبر idempotent باستخدام $$ \ bar a \ equiv 1-a، \ qquad a \ vee b \ equiv a + b -ab، \ qquad a \ wedge b \ eyiv a \ otimes b $ < / span>

حيث $ \ otimes $ هو منتج idempotent (لا توجد صلاحيات). على سبيل المثال، $$ (A + B) \ OTimes (A-B)= A -AB + AB - B= A-B.

صيغة CNF

$$ \ PHI= (a \ vee b) \؛ (b \ vee c) (b \ vee \ bar c) (\ bar b \ vee \ bar c) \؛ (a \ vee c) (\ bar a \ vee \ bar c) $

يمكن تحويل

إلى ما أود استدعاء التعبير idempotent $$ \ PHI= (A + B - AB) \ OTimes (B-BC) \ OTimes (A + C-2AC). $$

يتوسع هذا التعبير لإعطاء $ \ phi= AB - ABC $ . أرغب في خوارزمية، بالنظر إلى صيغة CNF كمدخلات، مخرجات المصطلح بأقل تجانس. في هذا المثال، سيعود Oracle $ AB $ . (إذا كان هناك مصطلحات متعددة مع الحد الأدنى من التجانس، فإن الخوارزمية يمكن أن تعيد أي واحد منهم.)

السؤال 1: ما هو تعقيد هذه المهمة؟ ما مدى ارتفاع في التسلسل الهرمي متعدد الحدود هو؟

ثانيا، بالنظر إلى تعبير Idempotent مختلف $$ \ Phi= AC + AD + BC + BD-ABC-ABD-2ACD-2BCD + 2ABCD، $ < / ص>

أنا مهتم بإلقاء التلخيص على الشروط ذات التجانس المتساوي. عن طريق ترك جميع المتغيرات تكون $ \ Epsilon $ نحن نحصل $$ \ Phi= 4 \ Epsilon ^ 2 - 6 \ Epsilon ^ 3 + 2 \ Epsilon ^ 4. $$ هذا يعطي متجه التجانس من $ [0،0،4، -6،2] $ .

السؤال 2: ما هو تعقيد الحوسبة ناقلات التجانس، بالنظر إلى تعبير idempotent كمدخلات؟ ما مدى ارتفاع في التسلسل الهرمي متعدد الحدود هو؟

Answer 1

دعونا نفكر في إصدار القرار التالي من مشكلتك الأولى:

بالنظر إلى مثيل السبت، هل تمثل تمثيل متعدد الطبقات مدة درجة في معظم $ D $ ؟

أدعي أن هذا هو الحال IFF يحتوي مثيل السبت على مهمة مرضية مع معظم $ D $ منها.

في الواقع، لنفترض أولا أن $ M $ هو مصطلح إدراج - الحد الأدنى في التمثيل المتعدد الأدوار للمثيل. استبدال 1 للمتغيرات في $ M $ و 0 للمتغيرات خارج $ m $ ، نحصل 1، وهذا هو، أن المثال راض. هذا يدل على أنه إذا كان التمثيل المتعدد الأطباء يحتوي على مدة درجة على معظم $ d $ ، فإن المثيل لديه مهمة مرضية مع الأكثر دفعة $ D $ تلك.

لنفترض الآن أن جميع المصطلحات في التمثيل متعدد الطبقات لها درجة أكثر من $ D $ . إذا بديلا عن أي مهمة مع معظم $ D $ منها، ثم جميع الأحاديال تساوي 0، وبالتالي فإن المهمة تزيد المثيل.

وبالتالي فإن إصدار القرار يعادل MIN-SAT SAT، وهي المشكلة التالية:

بالنظر إلى مثيل السبت، هل لديها مهمة مرضية مع معظم $ D $ منها؟

المشكلة في NP (من السهل حساب عدد منها في مهمة مرضية)، ومن الواضح أن NP-Hard (تأخذ $ d= n $ ). وبالتالي المشكلة هي NP كاملة.

---

باستخدام NP Oracle، يمكننا بسهولة العثور بسهولة على Monomial مع الحد الأدنى من الدرجة، معافدة، وهي مهمة مرضية بأقل منها. فقط استبدل 0 في أحد المتغيرات، ومعرفة ما إذا كان يزيد من الحد الأدنى من الوزن من الحل. إذا كان الأمر كذلك، فقم بتعيين هذا المتغير إلى 1، وإلا يتم تعيينه إلى الصفر، واستمر في المتغير التالي. هذا يجيب سؤالك الأول.