IDEmpotent代数のアルゴリズム

Question

ブール代数式は、使用を用いてIDEmpotent代数に変換することができる。 $$ \ bar A \ QuaD A、\ QQUAD A \ VE B \ QUAD A \ ab、\ Qquad A \ Wedge B \ QuaD B $ < / SPAN>

ここで、 $ \ _ x $ はIDEmpotent製品（パワーなし）です。たとえば、 $$（a + b）\ ytime（a-b）= A-AB + AB - B= A-B。$$

CNF式

$$ \ phi=（a \ vee b）\; （B \ VEE C）（B \ VEE \ BAR C）（\ bar b \ vee \ bar c）\; （a \ vee c）（\ bar a \ vee \ bar c）$$

はIdempotent式を呼び出すものに変換できます $$ \ phi=（a + b - ab）\ ytime（b-bc）\ atime（A + C-2ac）$$

この式は展開され、 $ \ phi= ab - abc $ 。入力としてCNF式を指定して、最低の均質性を持つ項を出力します。この例では、Oracleは $ ab $ を返します。 （最小限の均質性を持つ複数の用語がある場合、アルゴリズムはそれらのいずれかを返すことができます。）

質問1：この作業の複雑さは何ですか？多項式階層の高さはどれくらい高いですか？

第2に、異なるIDEmpotent式 $$ \ PHI= AC + AD + BC + BD-ABC-ABD-2ACD-2BCD + 2ABCD、$$ / P>

私は同等の均質性を持つ用語を合計することに興味があります。すべての変数を $ \ epsilon $ にすることによって $$ \ phi= 4 \ epsilon ^ 2 - 6 \ epsilon ^ 3 + 2 \ epsilon ^ 4. $$ これにより、 $ [0,0,4、-6,2] $ の均一性ベクトルが得られます。

質問2：IDEMPOTENT式を入力として均一性ベクトルを計算する複雑さは何ですか？多項式階層の高さはどれくらい高いですか？

Answer 1

あなたの最初の問題の次の決断版を考えてみましょう：

SATインスタンスを考えると、多重線表現は $ d $ ？

です。

私はこれがSATインスタンスが $ d $ を持つ満足のいく割り当てを持っている場合です。

確かに、 $ m $ は、インスタンスの多重回線表現における包含最小項です。 $ m $ 、 $ m $ の変数の変数に1を置き換えます。すなわち、そのインスタンスが満たされること。これは、多岐線表現に $ D $ の程度がある場合、そのインスタンスは $ d $

現在、多岐線表現のすべての条項には、 $ d $ 以上の程度があるとします。 $ d $ を使用して任意の割り当てを置き換えた場合、すべての単項式が0に等しいので、割り当てはインスタンスを改ざんします。

そのため、決定版はMIN-ONE-SATと同等です。これは次の問題です。

SATインスタンスを指定して、それは $ d $ ones？

で満足のいく割り当てを行いますか？

問題はNPにあります（課題満足のあるもの数を数えるのは簡単です）、明らかにNP-HARD（ $ d= n $ ）。したがって、問題はNP完成です。

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NP Oracleを使用すると、最小限の程度で、同等に、最小の割り当てを簡単に見つけることができます。単一の変数に0を置き換え、解決策の最小重みを増加させるかどうかを確認します。その場合は、この変数を1に設定し、それ以外の場合はゼロに設定し、次の変数に進みます。これはあなたの最初の質問に答えます。