Idempotent 대수학을위한 알고리즘

Question

부울 대수의 표현식은 사용하여 멱등 텔레트 대수로 변환 될 수 있습니다. $$ \ bar A \ EPIV 1-A, \ qquad a \ quad a + b-bab, \ qquad a \ wedge b \ equiv a \ otimes b $$ < / span>

여기서 $ \ otimes $ 은 멱등 텐트 제품 (권한 없음)입니다. 예를 들어 $$ (a + b) \ OTIMES (a-b)= a -AB + ab - b= a-b. $$

CNF 수식

$$ \ phi= (a \ vee b) \; (b \ vee c) (b \ vee \ bar c) (\ bar b \ vee \ bar c) \; (a \ vee c) (\ bar a \ vee \ bar c) $$

가 멱등성 표현을 호출하는 것으로 변환 될 수 있습니다. $$ \ phi= (A + B - AB) \ OTIMES (B-BC) \ OTIMES (A + C-2AC). $$

이 표현식은 $ \ phi= ab - abc $ 을 제공합니다. CNF 공식이 입력으로 인도하는 알고리즘을 원합니다.이 용어를 가장 낮은 균질성으로 출력합니다. 이 예에서 오라클은 $ ab $ 을 반환합니다. (최소한의 균질성이있는 모든 용어가있는 경우 알고리즘은 그 중 하나를 반환 할 수 있습니다.)

질문 1 :이 작업의 복잡성은 무엇입니까? 다항식 계층 구조에서 얼마나 높은가?

둘째, 다른 멱등 $$ \ phi= AC + AD + BC + BD-ABC-ABD-2ACD-2BCD + 2ABCD, $$ / P>

나는 동등한 균질성을 가진 용어에 대해 합산하는 데 관심이 있습니다. 모든 변수가 $ \ 엡실론 $ 을 찍어주는 것 $$ \ PHI= 4 \ 엡실론 ^ 2 - 6 \ 엡실론 ^ 3 + 2 \ 엡실론 ^ 4. $$ 이것은 $ [0,0,4, -6,2] $

의 균질성 벡터를 산출합니다.

질문 2 : 균질성 벡터를 계산하는 복잡성은 무엇인가, Idempotent 표현식을 입력으로 제공합니까? 다항식 계층 구조에서 얼마나 높은가?

Answer 1

첫 번째 문제의 다음 결정 버전을 고려해보십시오.

SAT 인스턴스가 주어지는 다목적 표현은 대부분의 $ D $

SAT 인스턴스가 대부분의 $ D $

에서 만족스러운 과제가있는 경우가 있다고 주장합니다.

실제로 $ m $ 이 인스턴스의 다중 선상 표현에서 포함 최소한의 용어입니다. $ M $ 및 0의 변수에 대해 $ m $ 외부의 변수에 대해 우리는 얻을 수 있습니다. 1, 즉 인스턴스가 만족된다는 것입니다. 이것은 다중 선상 표현이 대부분의 $ D $ 에서 학위의 기간을 가지지 않으면 인스턴스가 대부분의 $ d $ .

이제는 다중 선상 표현의 모든 용어가 $ d $ 보다 더 많은 것으로 가정합니다. 우리가 대부분의 $ d $ recewent, 모든 과정을 모두 0으로 대체하면 모든 과일이 0이므로 과제가 인스턴스를 위조합니다.

다음의 결정 버전은 Min-Onter-Sat와 동일합니다. 이는 다음과 같은 문제입니다 :

SAT 인스턴스가 주어지면 대부분의 $ D $

에서 만족스러운 과제가 있습니까?

문제는 NP (만족스러운 할당의 수의 수를 계산하기 쉽습니다). 분명히 NP-HARD ( $ d= n $ ). 따라서 문제는 NP 완료입니다.

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NP 오라클을 사용하여 최소한의 정도로 또는 이와 동등하게 적어도 만족스러운 과제로 쉽게 결합을 쉽게 찾을 수 있습니다. 변수 중 하나에서 0을 대체하고 솔루션의 최소 중량이 증가하는지 확인하십시오. 그렇다면이 변수를 1로 설정하고 그렇지 않으면 0으로 설정하고 다음 변수를 계속하십시오. 이것은 당신의 첫 번째 질문에 답합니다.