لماذا $ \ Log n + \ log \ frac {n} {} + \ log \ frac {n} + \ log \ frac {8} + \ cdots + \ log \ frac {n} {n}=Theta (\ Log ^ 2 n) $؟

Question

$$ \ log n + \ log \ frac {2} + \ log \ frac {4} + \ log \ frac {n} {8}+ \ cdots + \ log \ frac {n}=theta (\ log ^ 2n). $

مجموع اللوغاريتمي هو لوغاريتم المنتج من المنتج $ n \ cdot \ frac {n} \ cdot \ frac {n} {4} \ cdot \ frac {n} {8} \ CDOTS \ FRAC {n} $ .هذا يساوي $ n ^ {\ log n} $ مقسوما على ماذا؟إذا كان المنتج سوف يكون فقط $ n ^ {\ log n} $ ، ثم هذا من شأنه أن يجعل Sende مثالي منذ $ \ log(n ^ {\ log n})=log (n) \ cdot \ log (n)=log ^ 2 n $ .ولكن المقسوم يساوي $ \ frac {} {2} \ cdot \ frac {1} \ cdot \ frac {1} {8} \ cdot \ frac {1}{16} \ CDOTS \ FRAC {1} {n} $ لذلك أنا لا أفهم ذلك.

Answer 1

على افتراض $ n $ هو قوة $ 2 $ ، لديك: $$ \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ log \ frac {n} {2 ^ i}= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ left (\ log n - i \ imer)= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} i= \ frac {(\ log n) (\ log n + 1)} {2}=theta (\ log ^ 2 n).