$ \ log n + \ log \ frac {n} {2} + \ log \ frac {n} {4} + \ log \ frac {n} {8} + \ cdots + \ log \ frac {n} {n}=theta (\ log ^ 2 n) $?

Question

$$ \ log n + \ log \ frac {n} {2} + \ log \ frac {n} {4} + \ log \ frac {n} {8}+ \ CDOTS + \ log \ frac {n} {n}= theta (\ log ^ 2n). $$

로그의 합은 제품 $ n \ cdot \ frac {n} {2} \ cdot \ frac {n} {4} \ cdot \ frac {n} {8} \ cdots \ frac {n} {n} $ .이것은 $ n ^ {\ log n} $ n ^ {\ log n} $ n 으로 나뉩니다.제품이 $ n ^ {\ log n} $ n ^ {\ log n} $ 이므로 $ \ log 이후 완벽한 sende를 만듭니다.(n ^ {\ log n})=log (n) \ cdot \ log (n)=log ^ 2 n $ .그러나 제수는 $ \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {8} \ cdot \ frac {1}{16} \ CDOTS \ FRAC {1} {n} $ 그래서 나는 그것을 얻지 못합니다.

Answer 1

$ n $ 은 $ 2 $ 의 힘입니다. $$ \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ log \ frac {n} {2 ^ i}= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ left (\ log n - i \ right)= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} i= \ frac {(\ log n) (\ log n + 1)} {2}=theta (\ log ^ 2 n). $$