为什么$ \ log n + \ log \ frac {n} {2} + \ log \ frac {n} {4} + \ log \ frac {n} {8} + cdots + \ log \ frac {n} {n}=theta（\ log ^ 2 n）$？

Question

$$ \ log n + \ log \ frac {n} {2} + \ log \ frac {n} {4} + \ log \ frac {n} {8}+ \ cdots + \ log \ frac {n} {n} {n}=theta（\ log ^ 2n）。$$

Logarithms的总和是产品 $ n \ cdot \ frac {n} {2} \ cdot \ frac {n} {4} \ cdot \ frac {n} {8} \ cdots \ frac {n} {n} $ 。这等于 $ n ^ {\ log n} $ 除以什么？如果产品只属于 $ n ^ {\ log n} $ ，那么这将是 $ \ log（n ^ {\ log n}）=log（n）\ cdot \ log（n）= log ^ 2 n $ 。但除数等于 $ \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {8} \ cdot \ frac {1}{16} \ cdots \ frac {1} {n} $ 所以我没有得到它。

Answer 1

假设 $ n $ 是 $ 2 $ 的电源： $$ \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ log \ frac {n} {2 ^ i}= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} \ left（\ log n - i \ rote）= \ sum_ {i= 0} ^ {\ log n} i= \ FRAC {（\ log n）（\ log n + 1）} {2}=theta（\ log ^ 2 n）。 $$