بحاجة إلى وضع عدد خوارزمية الطحن

Question

تعثرت على هذا السؤال:

7 Power 7 هو 823543. أي قوة أعلى من 7 ينتهي مع 823543؟

كيف يجب أن أذهب حول هذا الموضوع؟ الشخص الذي توصلت إليه بطيء للغاية، فإنه يبقى مضاعفا بنسبة 7 والتحقق من آخر 6 أرقام من النتيجة للمباراة.

حاولت مع رمز لو:

int x=1;
    for (int i=3;i<=100000000;i=i+4){
            x=(x*7)%1000000;
            System.out.println("i="+ i+" x= "+x);
            if (x==823543){
                System.out.println("Ans "+i);}
            }

و CPU يبدو وكأنه طباخ ضغط ولكن لا يمكن الحصول على الجواب :(

Answer 1

اضرب modulo 10 ^ 6. انظر الى هذا قانون لوا.

local x=1
for i=1,100000 do
        x=(x*7) % 1e6
        if x==823543 then print(i) end
end

Answer 2

يمكنك استخدام تعميم المراوغة من نظرية فيرمات الصغيرة الذي يطبق على قضيتك يقول أنه لأي عدد أ هذا غير قابل للقسمة من قبل اثنين أو خمس، أ إلى الطاقة 400000 يساوي 1 modulo 10 ^ 6. مما يعني أن 7 ^ 400000 يساوي واحد و 7 ^ 400007 يساوي 823543 modulo 10 ^ 6

قد تكون هناك صلاحيات أصغر من 7 تساوي أيضا مودم واحد 10 ^ 6. يجب أن تكون أي قوة من هذا القبيل مقسمة من 400000. لذلك إذا قمت بتبحث في جميع مقصات 400000، يجب أن تجد إجابتك.

Answer 3

حل القوة الغاشمة في بيثون:

def check():
    i = 8
    while True:
        if str(7**i)[-6:] == "823543":
            print i, 7**i
            break
        i += 1

if __name__ == "__main__":
  check()

يعمل في TAD أكثر من 10 ثوان على جهازي:

$ time python 7\*\*7.py 
5007 25461638709540284156782446957365168367138070393489656084508152816071765490828583739345420574947301301356529652113030016806506783009529977928336772622054260724106711204039012806363481521302203821096274017061906820115931889920385802499836705571461280700786627503189500663279772123190279763997339608040949194040289041117811256914511855302927500076094761237077649092849658261309060277197389760351907599243227298336309204635761799394324969277220810221310805265921431367291459357151617279190810954501590069774137519833706444943573459910208627100504003480684029216932299650285683013274883359754231186580602570771682084721896446416234857382909168309309630688331305154545352580787700878011742720440707156231891841057992434850068501355342227582074144717324718396296563918284728120322255330707786227631084119636101174217518654320128390401231343058708073280898554293777842571799775647325449392944570725467462072394864457569308219294304248413378339223195121800534783732295135735588409249690562213409520783181313960347723827308102920022860541043691808218543350580271593107019737918976365348051012746817678592727727988993175444584453532474156202438866838819565827414970029052602274354173178190323239427022953097424087683011937130778414189673555875258508014323428137406618951161046883845551087123412471364400737145434714864392224194773030522352601143771552489895838728148761974811275894561985163094852437703080985644653666048979901975905667811053289029958524703063742007291722490298429637413913574845245364780928447142275001431370017543206188428912106120676556219532197108435997375879569102044435752697298456147512203108094030745606163915437604076966518127099543894645297945324345093247636119593298654296614887389164509070158924404441687810434488061150620012547321097786493748417764592151734279632949607485719050349385098350202294648324398902047614892248381794929374952059877187100434970751833289677556040879755065563758085919673107576808662549999202791489324437408075089456174056904323973798979207791446889016369166632636035638123394649891606479407561222474471530411700646266636732205895085248823824764170316644547100628119484733814900100986786082211477261114056206393554335903410036064553032366200714266053598548735147707681592574886559888869327771461046450774938490837810526377213647071217152427693219479552580138352651791476758476864761332281826701978038126122728967682552206820425685782165630494478519812498630475776384700259524274670258777572341538755828794632819515842335609785884327007667337426644594091547392441314523035569100326662245947022517857248412004291423280879791576077952474202068318934524092750814844945529148131063116233331840380254781283689084385600858175504170157015630699919186013526052643206240745256569669847298952477441594748635701081031979500954081732722211598460098426985932512920424237248250698541558227081975966598720056015879151923686438360541128221854058867910136449528237543680180470919685862102358708465872395643586424250239281775923511452769821487580471289910257908740451431952197725174728917413539539795856895884961513784804247268727165303942024508367184898248006123651950710237279288601317817391869969699767431782664773248447758526620050588927086506013616563459173620496200348863132442180734592661348887012997849309740799709045762939781801481205704629203758859772476278892928066844445088880207986848424855774325574728566649552154520262460969975214802828263093097997124519153537792591659204109087699977445745067857471581656151077039286563447099850537157044829081400190710358959493358343935904669416958301921942118288210835104022359479660409954097409669785908666166908117346073702337825511531650740900904200220658196171839969860945908503151878488455004283026700303698398069644419655035582904253655945381261383285097911378914794161551292914993411444083214513058414480129560671193659591364146612550890288116403596333209446976453193340267725222134755872075133141618388704912211996423838163706006930973361661094103734887312836613195349528793780496172839376426055357343094188450140671138356505144988151110902047791487250988374130384058324229250761311655685931891857894126054047458969174494155762486464149775147410127618088224310828566286409277000561087588768230619606746804073498788244935099280434916850444895829823543

real    0m10.779s
user    0m10.709s
sys 0m0.024s

Answer 4

ليس الكثير من الإجابة، أكثر تلميحا:

لاحظ أن نمط الأرقام اليمنى من صلاحيات 7 يذهب 7،7،3،3،7،9،9،7،7، ... لذلك تحتاج فقط إلى توليد كل قوة 4 من 7 من 3. قد تظهر المزيد من الدراسة نمطا لشخصين (ثلاثة، أربعة، ...) أقصى اليمين، لكنني لم أفعل درسهم لك.

كن مستعدا لبعض أعداد كبيرة جدا، الرياضيات تقارير تفيد بأن القوة التالية من 7 مع أرقام أقصى اليمين المطلوبة هي 5007.

الذي أعتقد أن الإجابات على سؤالك - نهج أسرع هو نشر ذلك وانتظر لشخص ما أن يخبرك بالجواب! يمكنك حتى تجربة Wolfram Alpha إذا كنت لا تحب الخوارزمية حتى.

Answer 5

يعد نهج Fermat Little Little Atternible وهو واحد معقول رياضيا، وتمتد أكثر من 7 mod 10 ^ 6 هو أبسط رمز، ولكن هناك نهج آخر يمكن أن تتخذه هو الكفاءة الحسابية (ولكن يتطلب رمز أكثر تعقيدا). أولا، لاحظ أنه عند مضاعفة 7 الاخير الرقم يعتمد فقط على الاخير رقم من قبل (أي نحن نفعل كل شيء وزارة الدفاع 10). نتضاعف مرارا وتكرارا بنسبة 7 للحصول على

7  (4)9  (6)3  (2)1 (0)7 ...

حسنا، عظيم، لذلك إذا كنا نريد 3، نبدأ في 7 ^ 3 وتصعد كل 7 ^ 4 من هناك. الآن، نلاحظ أنه عندما يتضاعف بنسبة 7 ^ 4، فإن آخر رقمين يعتمدان فقط على رقمين آخرين من 7 ^ 4 والأرقام الأخيرين من الإجابة السابقة. 7 ^ 4 هو 2401. لذلك في الواقع الأخير اثنين سوف تكون الأرقام هي نفسها دائما عند الارتفاع بنسبة 7 ^ 4.

ماذا عن الثلاثة الأخيرة؟ حسنا، 7 ^ 3 = 343 و 7 ^ 4 ينتهي ب 401، لذلك وزارة الدفاع 1000 نحصل عليه

343 543 743 943 143 343

لدينا أرقامنا الثلاثة الأولى في العمود رقم 2 (543)، ونحن نرى أن التسلسل يتكرر من أي وقت مضى 5، لذلك يجب أن نذهب من هناك بنسبة 7 ^ 20.

يمكننا أن نلعب هذه الخدعة مرارا وتكرارا: ابحث عن عدد المرات التي تتكرر الكتلة التالية من الأرقام، والعثور على الحظر الأيمن ضمن تلك الكتلة، ثم لا تضرب حتى 7 ولكن بنسبة 7 ^ n.

ما نقوم به حقا هو العثور على خاتم (مضاعف) على رقم M'TH، ثم ضرب أحجام جميع الحلقات معا للحصول على تمتد بين القوى المتتالية التي تحتوي على نفس أرقام N إذا اتبعنا هذه الطريقة. إليك بعض كود Scala (2.8.0 Beta1) الذي يفعل هذا فقط:

def powRing(bigmod: BigInt, checkmod: BigInt, mul: BigInt) = {
  val powers = Stream.iterate(1:BigInt)(i => (i*mul)%bigmod)
  powers.take( 2+powers.tail.indexWhere(_ % checkmod == 1) ).toList
}
def ringSeq(digits: Int, mod: BigInt, mul: BigInt): List[(BigInt,List[BigInt])] = {
  if (digits<=1) List( (10:BigInt , powRing(mod,10,mul)) )
  else {
    val prevSeq = ringSeq(digits-1, mod, mul)
    val prevRing = prevSeq.head
    val nextRing = powRing(mod,prevRing._1*10,prevRing._2.last)
    (prevRing._1*10 , nextRing) :: prevSeq
  }
}
def interval(digits: Int, mul: Int) = {
  val ring = ringSeq(digits, List.fill(digits)(10:BigInt).reduceLeft(_*_), mul)
  (1L /: ring)((p,r) => p * (r._2.length-1))
}

لذلك، إذا وجدنا واحد حالة الأرقام التي نريدها، يمكننا الآن العثور عليها جميعا من خلال إيجاد حجم الحلبة المناسبة. في حالتنا، مع 6 أرقام (أي وزارة الدفاع 10 ^ 6) والقاعدة 7، نجد حجم متكرر:

scala> interval(6,7)                                                           
res0: Long = 5000

لذلك، لدينا إجابتنا! 7 ^ 7 هو الأول، 7 ^ 5007 هو الثاني، 7 ^ 10007 هو الثالث، إلخ.

لأن هذا عام، يمكننا تجربة إجابات أخرى ... 11 ^ 11 = 285311670611 (رقم 8 أرقام). دعونا ننظر إلى الفاصل الزمني:

scala> interval(12,11)            
res1: Long = 50000000000

لذلك، هذا يخبرنا أن 11 ^ 500000007 هو الرقم التالي بعد 11 ^ 11 مع نفس المجموعة الأولية من 12 رقما. تحقق باليد إذا كنت فضوليا!

دعنا نتحقق أيضا مع 3 ^ 3 - ما هي القوة التالية التي تنتج التوسع العشري مع 27؟

scala> interval(2,3)
res2: Long = 20

يجب أن يكون 3 ^ 23. تدقيق:

scala> List.fill(23)(3L).reduceLeft((l,r) => {println(l*r) ; l*r})
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
177147
531441
1594323
4782969
14348907
43046721
129140163
387420489
1162261467
3486784401
10460353203
31381059609
94143178827

نعم!

---

(تبديل التعليمات البرمجية في التعديلات لاستخدام bigint بحيث يمكن التعامل مع الأرقام التعسفية من الأرقام. لا يكشف الكود الحالات المتدهورة، لذلك تأكد من استخدام ما رئيسا للسلطة ....)

Answer 6

تلميح آخر: أنت مهتم فقط بأرقام N الأخيرة: يمكنك إجراء العمليات الحسابية Modulo 10 ^ n والحفاظ على النتيجة تناسب بشكل جيد في عدد صحيح