Необходимо разработать алгоритм обработки чисел.

Question

Я наткнулся на этот вопрос:

7 в степени 7 равно 823543.Какая высшая степень числа 7 заканчивается на 823543?

Как мне это сделать?Тот, который я придумал, очень медленный, он продолжает умножаться на 7 и проверяет последние 6 цифр результата на совпадение.

Я попробовал использовать код Лу:

int x=1;
    for (int i=3;i<=100000000;i=i+4){
            x=(x*7)%1000000;
            System.out.println("i="+ i+" x= "+x);
            if (x==823543){
                System.out.println("Ans "+i);}
            }

И процессор звучит как скороварка, но не может получить ответ :(

Answer 1

Умножьте по модулю 10^6.Видеть это Lua-код.

local x=1
for i=1,100000 do
        x=(x*7) % 1e6
        if x==823543 then print(i) end
end

Answer 2

Вы могли бы использовать Обобщение Эйлера из Маленькая теорема Ферма что применимо к вашему случаю, говорит, что для любого числа а не делится на два или пять, а в степени 400000 равно 1 по модулю 10^6.Это означает, что 7^400000 равно единице, а 7^400007 равно 823543 по модулю 10^6.

Могут быть меньшие степени 7, которые также равны единице по модулю 10^6.Любая такая степень должна быть делителем 400000.Итак, если вы ищете все делители 400000, вы должны найти ответ.

Answer 3

Решение методом грубой силы на Python:

def check():
    i = 8
    while True:
        if str(7**i)[-6:] == "823543":
            print i, 7**i
            break
        i += 1

if __name__ == "__main__":
  check()

На моей машине работает чуть больше 10 секунд:

$ time python 7\*\*7.py 
5007 25461638709540284156782446957365168367138070393489656084508152816071765490828583739345420574947301301356529652113030016806506783009529977928336772622054260724106711204039012806363481521302203821096274017061906820115931889920385802499836705571461280700786627503189500663279772123190279763997339608040949194040289041117811256914511855302927500076094761237077649092849658261309060277197389760351907599243227298336309204635761799394324969277220810221310805265921431367291459357151617279190810954501590069774137519833706444943573459910208627100504003480684029216932299650285683013274883359754231186580602570771682084721896446416234857382909168309309630688331305154545352580787700878011742720440707156231891841057992434850068501355342227582074144717324718396296563918284728120322255330707786227631084119636101174217518654320128390401231343058708073280898554293777842571799775647325449392944570725467462072394864457569308219294304248413378339223195121800534783732295135735588409249690562213409520783181313960347723827308102920022860541043691808218543350580271593107019737918976365348051012746817678592727727988993175444584453532474156202438866838819565827414970029052602274354173178190323239427022953097424087683011937130778414189673555875258508014323428137406618951161046883845551087123412471364400737145434714864392224194773030522352601143771552489895838728148761974811275894561985163094852437703080985644653666048979901975905667811053289029958524703063742007291722490298429637413913574845245364780928447142275001431370017543206188428912106120676556219532197108435997375879569102044435752697298456147512203108094030745606163915437604076966518127099543894645297945324345093247636119593298654296614887389164509070158924404441687810434488061150620012547321097786493748417764592151734279632949607485719050349385098350202294648324398902047614892248381794929374952059877187100434970751833289677556040879755065563758085919673107576808662549999202791489324437408075089456174056904323973798979207791446889016369166632636035638123394649891606479407561222474471530411700646266636732205895085248823824764170316644547100628119484733814900100986786082211477261114056206393554335903410036064553032366200714266053598548735147707681592574886559888869327771461046450774938490837810526377213647071217152427693219479552580138352651791476758476864761332281826701978038126122728967682552206820425685782165630494478519812498630475776384700259524274670258777572341538755828794632819515842335609785884327007667337426644594091547392441314523035569100326662245947022517857248412004291423280879791576077952474202068318934524092750814844945529148131063116233331840380254781283689084385600858175504170157015630699919186013526052643206240745256569669847298952477441594748635701081031979500954081732722211598460098426985932512920424237248250698541558227081975966598720056015879151923686438360541128221854058867910136449528237543680180470919685862102358708465872395643586424250239281775923511452769821487580471289910257908740451431952197725174728917413539539795856895884961513784804247268727165303942024508367184898248006123651950710237279288601317817391869969699767431782664773248447758526620050588927086506013616563459173620496200348863132442180734592661348887012997849309740799709045762939781801481205704629203758859772476278892928066844445088880207986848424855774325574728566649552154520262460969975214802828263093097997124519153537792591659204109087699977445745067857471581656151077039286563447099850537157044829081400190710358959493358343935904669416958301921942118288210835104022359479660409954097409669785908666166908117346073702337825511531650740900904200220658196171839969860945908503151878488455004283026700303698398069644419655035582904253655945381261383285097911378914794161551292914993411444083214513058414480129560671193659591364146612550890288116403596333209446976453193340267725222134755872075133141618388704912211996423838163706006930973361661094103734887312836613195349528793780496172839376426055357343094188450140671138356505144988151110902047791487250988374130384058324229250761311655685931891857894126054047458969174494155762486464149775147410127618088224310828566286409277000561087588768230619606746804073498788244935099280434916850444895829823543

real    0m10.779s
user    0m10.709s
sys 0m0.024s

Answer 4

Не столько ответ, сколько подсказка:

Обратите внимание, что порядок крайних правых цифр степеней 7 — 1,7,9,3,1,7,9,3,1,7,...поэтому вам нужно генерировать только каждую четвертую степень числа 7 из третьей.Дальнейшее изучение может показать закономерность для двух (трех, четырех,...) крайних правых цифр, но я еще не изучил их для вас.

Будьте готовы к очень большим числам, Математика сообщает, что следующая степень 7 с искомыми крайними правыми цифрами - 5007-я.

Что, я думаю, отвечает на ваш вопрос: более быстрый подход — опубликовать сообщение на SO и подождать, пока кто-нибудь скажет вам ответ!Вы даже можете попробовать Wolfram Alpha, если вам не нравится алгоритм SO.

Answer 5

Подход с использованием маленькой теоремы Ферма является математически разумным, и простое умножение снова и снова на 7 по модулю 10^6 является самым простым кодом, но есть и другой подход, который вы можете использовать, который является эффективным в вычислительном отношении (но требует более сложного кода).Во-первых, обратите внимание, что при умножении на 7 последний цифра зависит только от последний цифра перед (т.е.делаем все по моду 10).Мы умножаем несколько раз на 7, чтобы получить

7  (4)9  (6)3  (2)1 (0)7 ...

Хорошо, отлично, если мы хотим получить 3, мы начнем с 7^3 и будем увеличиваться каждые 7^4.Теперь отметим, что при умножении на 7^4 последние две цифры зависят только от двух последних цифр 7^4 и двух последних цифр предыдущего ответа.7^4 — это 2401.Так что на самом деле последний два цифры всегда будут одинаковыми при увеличении на 7^4.

А что насчет последних трех?Итак, 7^3 = 343, а 7^4 заканчивается на 401, поэтому по модулю 1000 мы получаем

343 543 743 943 143 343

У нас есть первые три цифры в столбце № 2 (543), и мы видим, что последовательность повторяется каждые 5, поэтому нам нужно подняться оттуда на 7 ^ 20.

Мы можем проделывать этот трюк снова и снова:найдите, как часто повторяется следующий блок цифр, найдите правильную подпоследовательность внутри этого блока, а затем умножьте не на 7, а на 7^n.

На самом деле мы находим (мультипликативное) кольцо по m-й цифре, а затем перемножаем размеры всех колец вместе, чтобы получить интервал между последовательными степенями, имеющими одинаковые N цифр, если мы следуем этому методу.Вот код Scala (2.8.0 Beta1), который делает именно это:

def powRing(bigmod: BigInt, checkmod: BigInt, mul: BigInt) = {
  val powers = Stream.iterate(1:BigInt)(i => (i*mul)%bigmod)
  powers.take( 2+powers.tail.indexWhere(_ % checkmod == 1) ).toList
}
def ringSeq(digits: Int, mod: BigInt, mul: BigInt): List[(BigInt,List[BigInt])] = {
  if (digits<=1) List( (10:BigInt , powRing(mod,10,mul)) )
  else {
    val prevSeq = ringSeq(digits-1, mod, mul)
    val prevRing = prevSeq.head
    val nextRing = powRing(mod,prevRing._1*10,prevRing._2.last)
    (prevRing._1*10 , nextRing) :: prevSeq
  }
}
def interval(digits: Int, mul: Int) = {
  val ring = ringSeq(digits, List.fill(digits)(10:BigInt).reduceLeft(_*_), mul)
  (1L /: ring)((p,r) => p * (r._2.length-1))
}

Итак, если мы нашли один регистр нужных нам цифр, теперь мы можем найти их все, найдя размер соответствующего кольца.В нашем случае с 6 цифрами (т.е.по модулю 10^6) и по основанию 7, мы находим повторяющийся размер:

scala> interval(6,7)                                                           
res0: Long = 5000

Итак, мы получили ответ!7^7 — первое, 7^5007 — второе, 7^10007 — третье и т. д.

Поскольку это общий вариант, мы можем попробовать другие ответы... 11^11 = 285311670611 (8-значное число).Давайте посмотрим на интервал:

scala> interval(12,11)            
res1: Long = 50000000000

Итак, это говорит нам о том, что 11^50000000007 — это следующее число после 11^11 с тем же начальным набором из 12 цифр.Проверьте вручную, если вам интересно!

Давайте также проверим с помощью 3^3: какова следующая степень 3, десятичное разложение которой заканчивается на 27?

scala> interval(2,3)
res2: Long = 20

Должно быть 3^23.Проверка:

scala> List.fill(23)(3L).reduceLeft((l,r) => {println(l*r) ; l*r})
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
177147
531441
1594323
4782969
14348907
43046721
129140163
387420489
1162261467
3486784401
10460353203
31381059609
94143178827

Ага!

---

(В изменениях код переключился на использование BigInt, чтобы он мог обрабатывать произвольное количество цифр.Однако код не обнаруживает вырожденные случаи, поэтому убедитесь, что вы используете простое число для степени....)

Answer 6

Еще один намек:Вас интересуют только последние N цифр:вы можете выполнять вычисления по модулю 10^N и сохранять результат в виде целого числа