Necessità di elaborare un algoritmo numero macinare

Question

Mi sono imbattuto in questa domanda:

  

7 Potenza 7 è 823543. Quale maggiore potenza di 7 si chiude con 823.543?

Come devo fare? Quello che mi è venuta è molto lenta, continua a moltiplicare per 7 e controlla le ultime 6 cifre del risultato di una partita.

Ho provato con il codice di Lou:

int x=1;
    for (int i=3;i<=100000000;i=i+4){
            x=(x*7)%1000000;
            System.out.println("i="+ i+" x= "+x);
            if (x==823543){
                System.out.println("Ans "+i);}
            }

E CPU suona come una pentola a pressione, ma non ha potuto ottenere la risposta: (

Answer 1

Moltiplicare modulo 10 ^ 6. Vedere questo Lua .

local x=1
for i=1,100000 do
        x=(x*7) % 1e6
        if x==823543 then print(i) end
end

Answer 2

Si potrebbe utilizzare generalizzazione di Eulero di piccolo teorema di Fermat, che applicata al vostro caso dice che per qualsiasi numero a che non è divisibile per due o cinque , un alla potenza 400000 è uguale a 1 modulo 10 ^ 6. Il che significa che il 7 ^ 400000 è uguale a uno e 7 ^ 400007 è pari a 823543 modulo 10 ^ 6

Ci possono essere piccole potenze di 7 che sono anche pari ad un modulo 10 ^ 6. Qualsiasi tale potere dovrebbe essere un divisore di 400000 Quindi, se si cerca tutti i divisori di 400.000 si dovrebbe trovare la risposta.

Answer 3

soluzione di forza bruta in Python:

def check():
    i = 8
    while True:
        if str(7**i)[-6:] == "823543":
            print i, 7**i
            break
        i += 1

if __name__ == "__main__":
  check()

viene eseguito in un po 'più di 10 secondi sulla mia macchina:

$ time python 7\*\*7.py 
5007 25461638709540284156782446957365168367138070393489656084508152816071765490828583739345420574947301301356529652113030016806506783009529977928336772622054260724106711204039012806363481521302203821096274017061906820115931889920385802499836705571461280700786627503189500663279772123190279763997339608040949194040289041117811256914511855302927500076094761237077649092849658261309060277197389760351907599243227298336309204635761799394324969277220810221310805265921431367291459357151617279190810954501590069774137519833706444943573459910208627100504003480684029216932299650285683013274883359754231186580602570771682084721896446416234857382909168309309630688331305154545352580787700878011742720440707156231891841057992434850068501355342227582074144717324718396296563918284728120322255330707786227631084119636101174217518654320128390401231343058708073280898554293777842571799775647325449392944570725467462072394864457569308219294304248413378339223195121800534783732295135735588409249690562213409520783181313960347723827308102920022860541043691808218543350580271593107019737918976365348051012746817678592727727988993175444584453532474156202438866838819565827414970029052602274354173178190323239427022953097424087683011937130778414189673555875258508014323428137406618951161046883845551087123412471364400737145434714864392224194773030522352601143771552489895838728148761974811275894561985163094852437703080985644653666048979901975905667811053289029958524703063742007291722490298429637413913574845245364780928447142275001431370017543206188428912106120676556219532197108435997375879569102044435752697298456147512203108094030745606163915437604076966518127099543894645297945324345093247636119593298654296614887389164509070158924404441687810434488061150620012547321097786493748417764592151734279632949607485719050349385098350202294648324398902047614892248381794929374952059877187100434970751833289677556040879755065563758085919673107576808662549999202791489324437408075089456174056904323973798979207791446889016369166632636035638123394649891606479407561222474471530411700646266636732205895085248823824764170316644547100628119484733814900100986786082211477261114056206393554335903410036064553032366200714266053598548735147707681592574886559888869327771461046450774938490837810526377213647071217152427693219479552580138352651791476758476864761332281826701978038126122728967682552206820425685782165630494478519812498630475776384700259524274670258777572341538755828794632819515842335609785884327007667337426644594091547392441314523035569100326662245947022517857248412004291423280879791576077952474202068318934524092750814844945529148131063116233331840380254781283689084385600858175504170157015630699919186013526052643206240745256569669847298952477441594748635701081031979500954081732722211598460098426985932512920424237248250698541558227081975966598720056015879151923686438360541128221854058867910136449528237543680180470919685862102358708465872395643586424250239281775923511452769821487580471289910257908740451431952197725174728917413539539795856895884961513784804247268727165303942024508367184898248006123651950710237279288601317817391869969699767431782664773248447758526620050588927086506013616563459173620496200348863132442180734592661348887012997849309740799709045762939781801481205704629203758859772476278892928066844445088880207986848424855774325574728566649552154520262460969975214802828263093097997124519153537792591659204109087699977445745067857471581656151077039286563447099850537157044829081400190710358959493358343935904669416958301921942118288210835104022359479660409954097409669785908666166908117346073702337825511531650740900904200220658196171839969860945908503151878488455004283026700303698398069644419655035582904253655945381261383285097911378914794161551292914993411444083214513058414480129560671193659591364146612550890288116403596333209446976453193340267725222134755872075133141618388704912211996423838163706006930973361661094103734887312836613195349528793780496172839376426055357343094188450140671138356505144988151110902047791487250988374130384058324229250761311655685931891857894126054047458969174494155762486464149775147410127618088224310828566286409277000561087588768230619606746804073498788244935099280434916850444895829823543

real    0m10.779s
user    0m10.709s
sys 0m0.024s

Answer 4

Non tanto una risposta, più un suggerimento:

Si noti che il modello di cifre più a destra di potenze di 7 va 1,7,9,3,1,7,9,3,1,7, ... in modo che solo bisogno di generare ogni 4 di potenza di 7 da il 3 °. Ulteriore studio potrebbe mostrare un modello per i due (tre, quattro, ...) più a destra le cifre, ma non ho fatto li studiate per voi.

Essere preparati per alcuni numeri molto grandi, Mathematica riporta che la prossima potenza di 7 con l'ambito per le cifre più a destra è il 5007i.

che immagino risponde alla tua domanda - un approccio più veloce è quello di scrivere un commento sul SO e aspettare che qualcuno di dirvi la risposta! Si potrebbe anche provare Wolfram Alpha, se non ti piace il SO algoritmo.

Answer 5

po approccio Il teorema di Fermat è una matematicamente sensibile, e solo mulitplying più e più volte da 7 mod 10 ^ 6 è il codice più semplice, ma c'è un altro approccio si potrebbe prendere che è computazionalmente efficiente (ma richiede codice più complesso). In primo luogo, si noti che quando moltiplicando per 7 ultima cifre dipende solo dalla ultima cifra prima (vale a dire che stiamo facendo tutto il mod 10). Moltiplichiamo più volte dal 7 per ottenere

7  (4)9  (6)3  (2)1 (0)7 ...

Ok, fantastico, quindi se vogliamo un 3, si parte alle 7 ^ 3 e andare ogni 7 ^ 4 da lì. Ora, notiamo che quando moltiplicando per 7 ^ 4, le ultime due cifre dipendono solo le ultime due cifre di 7 ^ 4 e le ultime due cifre della risposta precedente. 7 ^ 4 è 2401. Quindi, in realtà l'ultima due cifre sarà sempre lo stesso quando si va dai 7 ^ 4.

Che dire gli ultimi tre? Beh, 7 ^ 3 = 343 e 7 ^ 4 si conclude con 401, quindi mod 1000 otteniamo

343 543 743 943 143 343

Abbiamo le nostre prime tre cifre nella colonna # 2 (543), e si vede che la sequenza si ripete mai 5, quindi dovremmo salire da lì in 7 ^ 20.

Possiamo giocare questo trucco più e più volte: scopri come spesso il successivo blocco di ripetizioni cifre, trovare la sottosequenza destra all'interno di quel blocco, e quindi moltiplicare per non del 7, ma da 7 ^ n

.

Quello che stiamo facendo veramente è trovare un anello (moltiplicativo) sopra la cifra m'th, e quindi moltiplicando le dimensioni di tutti gli anelli insieme per ottenere l'intervallo tra le potenze successive che hanno gli stessi N cifre se seguiamo questo metodo. Ecco alcuni codice Scala (2.8.0 Beta1) che fa proprio questo:

def powRing(bigmod: BigInt, checkmod: BigInt, mul: BigInt) = {
  val powers = Stream.iterate(1:BigInt)(i => (i*mul)%bigmod)
  powers.take( 2+powers.tail.indexWhere(_ % checkmod == 1) ).toList
}
def ringSeq(digits: Int, mod: BigInt, mul: BigInt): List[(BigInt,List[BigInt])] = {
  if (digits<=1) List( (10:BigInt , powRing(mod,10,mul)) )
  else {
    val prevSeq = ringSeq(digits-1, mod, mul)
    val prevRing = prevSeq.head
    val nextRing = powRing(mod,prevRing._1*10,prevRing._2.last)
    (prevRing._1*10 , nextRing) :: prevSeq
  }
}
def interval(digits: Int, mul: Int) = {
  val ring = ringSeq(digits, List.fill(digits)(10:BigInt).reduceLeft(_*_), mul)
  (1L /: ring)((p,r) => p * (r._2.length-1))
}

Quindi, se abbiamo trovato una caso delle cifre che vogliamo, possiamo ora trovare tutti loro trovando la dimensione del ring appropriata. Nel nostro caso, a 6 cifre (vale a dire mod 10 ^ 6) e la base 7, troviamo un repeat dimensione di:

scala> interval(6,7)                                                           
res0: Long = 5000

Quindi, abbiamo la nostra risposta! 7 ^ 7 è il primo, 7 ^ 5007 è il secondo, 7 ^ 10007 è il terzo, ecc ..

Dal momento che questo è generico, possiamo provare altre risposte ... 11 ^ 11 = 285.311.670.611 (un numero di 8 cifre). Diamo un'occhiata a l'intervallo:

scala> interval(12,11)            
res1: Long = 50000000000

Quindi, questo ci dice che l'11 ^ 50.000.000 mila sette è il numero successivo dopo l'11 ^ 11 con lo stesso set iniziale di 12 cifre. Controllare a mano se siete curiosi!

Diamo un'occhiata anche con 3 ^ 3 -? Qual è la prossima potenza di 3 la cui espansione decimale termina con 27

scala> interval(2,3)
res2: Long = 20

Dovrebbe essere 3 ^ 23. Controllo:

scala> List.fill(23)(3L).reduceLeft((l,r) => {println(l*r) ; l*r})
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
177147
531441
1594323
4782969
14348907
43046721
129140163
387420489
1162261467
3486784401
10460353203
31381059609
94143178827

Yup!

---

(codice Switched a modifiche da usare BigInt quindi è in grado di gestire un numero arbitrario di cifre. Il codice non rileva casi degeneri, però, in modo da assicurarsi di utilizzare un numero primo per il potere ....)

Answer 6

Un altro suggerimento: Siete interessati solo negli ultimi N cifre: è possibile eseguire calcoli Modulo 10 ^ N e mantenere il risultato misura piacevolmente in un intero