重新排列一系列实数，以满足多项式不平等现象

Question

假设我们修复了$ d $ polyenmials $ f $ $ k $变量。 （如果有帮助，请让$ t $是$ f $中的条款数）。考虑一个实数的列表$ a_1， ldots，a_n $，是否存在置换$ pi $，以使所有$ i i leq nk $ $$ f（a _ { pi（i）}，a_ { pi（i+1）}， ldots，a _ { pi（i+k-1）}） geq 0 $$

这个问题有多困难？

Answer 1

让我们假设数字$ a_1， ldots，a_n $是整数，因此对于任何固定的$ f $，问题都在NP中。我们构建了一个多项式$ f $，以使问题是NP完整的，通过从立方图中的顶点盖（$ 3 $ -REAKULAL GRAPHS）减少。

令立方顶点盖的实例由立方图$ g =（v，e）$和整数$ m $，然后让$ | v | = n $。选择大于$ 7 $，$ p_1， ldots，p_n $的第一个$ n $ primes。我们构造以下序列$ mathbf {a} $：

• 对于每个边缘$（i，j）$，数字$ p_i，p_j，p_ {ij} $
• 对于每个顶点$ i $，数字$ p_i，p_i^3 $
• $ M $ $ 3 $
• $ nm $ $ 5 $的副本
• $ 9N/2 $ $ 2 $的副本
• $ 11 $ $ 7 $

请注意，有些数字不止一次。预期的解决方案序列由11份$ 7 $组成，其次是以下两种形式的$ n $长度为$ 12 $： 2,2,2 $$其中$ 1 leq i leq n $或$$ 3，p_i，p_i^3，x_1，y_1，y_1，z_1，x_2，x_2，y_2，z__2，x_3，x_3，y_3，y_3，z_3 $$ leq i leq n $和$ alpha in {1,2,3 } $，$$ x_ alpha，y_ alpha，z_ alpha = 2,2,2,2 quad quad text text {or} quad p_i，p_ip_j，p_j text {对于某些边缘}（i，j）。应该清楚的是，仅当存在顶点盖时，就存在这样的序列。仍然要显示我们如何使用单个多项式$ f $“运行”的单个多项式$ f $测试该序列 全部 长度为$ 12 $的大块。

我们让$ f = -f'$，其中函数$ f'（u，v，w，x_1，y_1，z_1，x_1，x_2，y_2，z_2，x_3，x_3，y_3，z_3）$是一个非阴性功能，可实现零对以下表格的输入为零：

• $ 3 in {
• $ 5 in {
• $ u = 5 $，$ w = v^3 $和$ x_1 = y_1 = z_1 = x_2 = y_2 = z_2 = x_2 = x_3 = y_3 = z_3 = 2 $
• $ u = 3 $，$ w = v^3 $，每个$ alpha in {1,2,3 } $，要么$ x_ alpha = y_ alpha = y_ alpha = z_ alpha = 2 $或$ x_ alpha = v $和$ y_ alpha = x_ alpha z_ alpha $

可以使用以下三个规则来构建此多项式：

• 条件$ i = j $由$（i -j）^2 $表示
• 给定两个条件的非负多项式$ C_1，C_2 $，条件$ C_1 LOR C_2 $由$ C_1 C_2 $表示
• 给定两个条件的非负多项式$ C_1，C_2 $，条件$ C_1 Land C_2 $由$ C_1 + C_2 $表示

令$ mathbf {b} $为$ mathbf {a} $的任何排列。由于$ f'$是非负的，因此必须是上述条件之一，每段$ 12 $。特别是，任何长度$ 12 $的部分都必须包含$ 3 $或$ 5 $的某个地方。考虑到这些数量与序列的长度相比，我们看到其一般形式是：11个任意元素，其后是$ n $ semgments，以$ 3 $或$ 5 $开始。以$ 5 $开头的每个细分市场均为$$ 5，Q，Q^3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2。 $$我们得出结论，$ q = p_i $对于$ 1 leq i leq n $。以$ 3 $开头的每个段为$$ 3，q，q^3，x_1，y_1，z_1，x_1，x_2，y_2，z_2，x_3，x_3，y_3，z_3。 $$和以前一样，$ q = p_i $ for $ 1 leq i leq n $。此外，对于每个$ alpha in {1,2,3 } $，要么$ x_ alpha = y_ alpha = z_ alpha = z_ alpha = 2 $或$ x_ alpha = p_i $和$ y_ y_ alpha = p_i z_ alpha $。在后一种情况下，我们得出结论，$ z_ alpha = p_j $和$ y_ alpha = p_ip_j $ for Some -Edge $（i，j）$。

在这两种情况下，细分市场中的一个元素都不等于$ 7 $，我们得出结论，该序列中的第一个元素必须为$ 7 $。令$ s $为$ i $的集合，以便有$ 3，p_i， ldots $的一部分。由于恰好有$ 3 $，$ | s |的$ m $副本= M $。对于每个边缘$（i，j）$，数字$ p_ {ij} $出现在某个地方，而唯一的合法地点是$ 3 $ - 细分。我们得出结论，$ s $是长度$ m $的顶点封面。

这表明，如果您的病情成立，则该图具有尺寸$ M $的顶点盖。相反，如果该图具有尺寸$ M $的顶点盖，那么我们可以通过将每个边缘分配给覆盖它的一个顶点之一来构造满足您条件的序列。这证明了减少的有效性。减少也是多项式时间（请注意，可以使用蛮力找到Primes $ p_1， ldots，p_n $），表明您的问题是NP-HARD，因此np-Complete。