Réorganiser une séquence de nombres réels pour satisfaire les inégalités polynomiales

Question

On suppose que nous fixons un degré $ d polynômes $ $ f $ de k variables $ $. (Si elle aide, soit $ t $ soit le nombre de termes de $ f $). Considérons une liste de nombres réels $ A_1, \ ldots, a_n $, est-ce qu'il existe une permutation $ \ pi $, tel que pour tout i $ \ leq $ n-k $$ f (a _ {\ pi (i)}, un _ {\ pi (i + 1)}, \ ldots, un _ {\ pi (i + k-1)}) \ geq 0 $$

Comment est ce problème?

Answer 1

Supposons que les numéros $ A_1, \ ldots, a_n $ sont des nombres entiers, de sorte que le problème est dans NP pour tout fixe $ f $. On construit un $ polynôme f $ pour que le problème est NP-complet, par réduction de la couverture de sommet sous forme de graphiques cubes ($ $ 3 graphiques réguliers réguliers).

Que l'exemple de couvercle de sommet cubique se composent d'un graphe cubique $ G = (V, E) et un nombre entier $ m $ $, et soit $ | V | = N $. Choisissez la première $ n $ nombres premiers plus de 7 $ $, $ P 1, \ ldots, p_n $. Nous construisons la séquence $ \ mathbf suivante {a} $:

• Pour chaque $ de bord (i, j) $, les numéros $ p_i, P_j, p_ {ij} $
• Pour chaque sommet i $ $, les numéros $ P_i, p_i ^ 3 $
• $ m $ copies de 3 $ $
• $ n-m copies de $ 5 $ $
• 9n $ / 2 $ de copies de 2 $
• 11 $ copie $ de 7 $ $

Notez que certains nombres apparaissent plus d'une fois. La séquence de solutions destinées comprend onze copies de 7 $ $ suivie par $ n $ segments de longueur 12 $ $ des deux formes suivantes: Soit $$ 5, p_i, p_i ^ 3,2,2,2,2,2,2,2,2,2 $$ où 1 $ \ leq i \ leq n $, ou $$ 3, p_i, p_i ^ 3, x 1, y_1, z_1, x 2, Y_2, Z_2, x_3, y_3, z_3 $$ où 1 $ \ leq i \ leq n $ et $ \ alpha \ in \ {1,2,3 \} $, $$ x_ \ alpha, y_ \ alpha, z_ \ alpha = 2,2,2 \ quad \ texte {ou} \ quad p_i, p_ip_j, P_j \ texte {} pour une arête (i, j). $$ Une séquence de code qui forme un couvercle de sommet donné par les sommets apparaissant dans la deuxième position dans les segments de la seconde forme. Il doit être clair qu'une telle séquence existe si et seulement si une couverture de sommet existe. Reste à montrer comment nous pouvons tester qu'une séquence est de cette forme en utilisant un seul polynôme $ f $ qui est « run » sur tous morceaux de longueur $ 12 $.

Soit $ f = f '$, où la fonction $ f' (u, v, w, x 1, y_1, z_1, x 2, Y_2, Z_2, x_3, y_3, z_3) $ est un non-négatif fonction qui atteint zéro exactement sur les entrées des formes suivantes:

• $ 3 \ in \ {v, w, x 1, y_1, z_1, x 2, Y_2, Z_2, x_3, y_3, z_3 \} $
• 5 $ \ in \ {v, w, x 1, y_1, z_1, x 2, Y_2, Z_2, x_3, y_3, z_3 \} $
• $ u = $ 5, $ w = v ^ 3 $ et $ x 1 = y_1 = z_1 = x 2 = Y_2 = Z_2 = x_3 = y_3 = z_3 = $ 2
• $ u = 3 $, $ w = v ^ 3 $ et pour chaque $ \ alpha \ in \ {1,2,3 \} $, soit $ x_ \ alpha = y_ \ alpha = z_ \ alpha = 2 $ ou $ x_ \ alpha = v $ et $ y_ \ alpha = x_ \ alpha z_ \ alpha $

Ce polynôme peut être construit en utilisant les trois règles suivantes:

• Une condition $ i = $ J est représenté par $ (I - J) ^ 2 $
• Étant donné deux polynômes non négatifs pour les conditions C_1 $, C_2 $, la condition $ C_1 \ lor C_2 $ est représenté par $ C_1 C_2 $
• Étant donné deux polynômes non négatifs pour les conditions C_1 $, C_2 $, la condition $ C_1 \ terre C_2 $ est représenté par $ C_1 + C_2 $

Soit $ \ mathbf {b} $ soit une permutation de $ \ mathbf {a} $ pour lequel votre condition est. Depuis $ f '$ est non-négatif, il faut que l'une des conditions ci-dessus vaut pour chaque segment de longueur de 12 $ $. En particulier, tout segment de longueur $ 12 $ doit contenir 3 $ ou 5 $ quelque part de $. Compte tenu du nombre de ceux-ci par rapport à la longueur de la séquence, on voit que sa forme générale est: onze éléments arbitraires suivis par des segments $ n $ à partir de 3 $ $ $ $ ou 5. Chaque segment à partir de 5 $ est de la forme $$ 5, q, q ^ 3,2,2,2,2,2,2,2,2,2. $$ Nous concluons que $ q = p_i $ pour environ 1 \ leq $ i \ leq n $. Chaque segment à partir de 3 $ est de la forme $$ 3, q, q ^ 3, x 1, y_1, z_1, x 2, Y_2, Z_2, x_3, y_3, z_3. $$ Comme précédemment, $ q = p_i $ pour environ 1 \ leq $ i \ leq n $. De plus, pour chaque $ \ alpha \ in \ {1,2,3 \} $, soit $ x_ \ alpha = y_ \ alpha = Z_ \ alpha = 2 $ ou $ x_ \ alpha = p_i $ et $ y_ \ alpha = p_i z_ \ alpha $. Dans ce dernier cas, nous concluons que $ Z_ \ alpha = P_j $ et $ y_ \ alpha = p_ip_j $ pour certains $ de bord (i, j) $.

Dans les deux cas, aucun des éléments dans les segments sont égaux à 7 $ $, et nous concluons que les onze premiers éléments de la séquence doit être 7 $ $. Soit $ S $ l'ensemble de $ i $ tel qu'il ya un segment de la forme $ 3, p_i, \ ldots $. Comme il y a exactement $ m $ de copies de 3 $ $, $ | S | = M $. Pour chaque $ de bord (i, j) $, le nombre $ p_ {ij} $ apparaisse quelque part, et le seul endroit légal est un 3 $ $ -segment. nous conclure que $ S $ est un couvercle de sommet de longueur $ m $.

Cela montre que si votre condition est alors le graphique a une couverture de sommet de $ m $. A l'inverse, si le graphique a une couverture de sommet de $ m $ alors nous pouvons construire une séquence satisfaire votre condition en attribuant à chaque bord à l'un des sommets qui la recouvrent. Cela prouve la validité de la réduction. La réduction est également temps polynomial (notez que les nombres premiers $ P 1, \ ldots, se trouvent $ p_n en utilisant la force brute), ce qui montre que votre problème est NP-dur, et ainsi de NP-complet.