画一架飞机

Question

我想绘制一个由方程式给出的平面：ax+by+cz+d = 0。我首先试图通过设置X，Y将他绘制，然后从方程式中获取Z。这不正常，因为有一些平面，例如0x+0y+Z+0 = 0和等...

我当前的解决方案是： - 通过提供4个坐标，将平面绘制在ZY平面上。 - 找出应进行旋转，以使给定平面的正常（a，b，c）放在z轴上。 - 找到应该为该平面放在X轴上的平面。 - 对那些旋转的完全相反的转换以及对此翻译的转换，因此我将获得
飞机代替他。

好的

这是一件很棒的事情，但是我可以用点产品等进行适当的数学计算（尝试很多次...）。

有人可以帮助我理解应完成的确切方式，或者给我一些我要放置ABCD并进行正确转换的公式？

Answer 1

这是你在问什么吗？

将像XY平面这样的简单平面转换为飞机非常简单：

您的飞机是ax+by+cz+d = 0

XY平面简单地z = 0。 IE A = B = D = 0，而C =无论您想要什么。为了简单起见，我们会说1。

当您以这种形式的平面时，平面的法线将由向量定义（a，b，c）

因此，您需要轮换，将您从（0,0,1）带到（a，b，c）**

*请注意，仅当{a，b，c}是统一时才起作用。因此，您可能必须将AB和C除以SQRT（A^2+B^2+C^2）。

仅绕两个轴旋转可以使您从任何方向转向任何其他方向，因此我们会选择X和Y。

这是旋转旋转矩阵的旋转矩阵，该旋转大约是X轴，而B大约在Y轴上。

rx：= {{1，0，0}，{0，cos [a]，sin [a]}，{0，-sin [a]，cos [a]}}

ry：= {{cos [b]，0，-sin [b]}，{0，1，0}，{sin [b]，0，cos [b]}}

如果我们进行大约x的旋转，然后进行旋转，大约是y的y，xy平面正常（0,0,1），我们得到：

ry.rx. {0,0,1} = {-cos [a] sin [b]，sin [a]，cos [a] cos [b]}

哪个是您的ABC值。

IE

a = -cos [a] sin [b

b = sin [a

c = cos [a] cos [b

从这里开始，这很简单。

a = asin [b

所以现在a = -cos [asin [b]] sin [b

cos [asin [x]] = sqrt（1-x^2）so：

a = -sqrt [1 -b^2] * sin [b

b = asin [-a/sqrt [1-b^2]

a = asin [b]（围绕x轴旋转）

b = asin [-a/sqrt [1-b^2]]（围绕y轴旋转）

因此，我们现在拥有有关X和Y轴的角度，需要旋转。

此后，您只需要向上或向下移动飞机，直到与已经拥有的飞机匹配。

您目前拥有的平面（这两个旋转之后）将为AX+By+Cz = 0。

您想要的平面是AX+BX+CZ+D = 0。为了找出D，我们将看到Z轴在哪里越过您的飞机。

IE CZ+D = 0-> Z = -D/C

因此，我们将您的z在ax+by+cz = 0中通过-d/c转换为：

ax+by+c（z+d/c）= ax+by+cz+d = 0。哦，你会看的！

事实证明，一旦有了旋转的角度，就不必做任何额外的数学！

这两个角度将为您提供A，B和C。为了让D您只需从所拥有的东西中复制它即可。

希望这有所帮助，我不确定您打算如何实际绘制飞机...

编辑以修复一些可怕的格式。希望现在更好。

Answer 2

您将需要以下转换矩阵：

    [ x0_x y0_x z0_x o_x ]
M = [ x0_y y0_y z0_y o_y ]
    [ x0_z y0_z z0_z o_z ]
    [    0    0    0   1 ]

在这里，Z0是平面的正常，O是平面的原点，X0和Y0是平面与Z0正交的两个向量，定义了投影的旋转和偏斜。

然后，您的xy平面上的任何点（x，y）都可以投影到一个点（p_x，p_y，p_z），您的新平面以下：

(p_x, p_y, p_z, w) = M * (x, y, 0, 1)

现在，转换矩阵中的Z0很容易，这是您飞机的正常 n = normalize(a,b,c).

但是，在选择其余部分时，您拥有更多的自由。对于原点，您可以指出平面相交Z轴，除非平面平行于Z轴，在这种情况下，您需要其他东西。

所以

if (c != 0) { //plane intersects Z axis
  o_x = 0;
  o_y = 0;
  o_z = -d/c;
}
else if (b != 0) { // plane intersects Y axis
  o_x = 0;
  o_y = -d/b;
  o_z = 0;
}
else { // plane must intersect the X axis
  o_x = -d/a;
  o_y = 0;
  o_z = 0;
}

实际上，您可能希望与 (c != 0), ，因为有了该测试，它甚至会成功的是C非常小，但与零不同，导致您的起源是说话的， x=0, y=0, z=10e100 这可能是不可取的。所以一些测试 (abs(c) > threshold) 可能是最好的。但是，您当然可以在飞机上完全不同的一点来放置原点，也许是最接近原始坐标系的原点，这将是：

o = n * (d / sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

最后，我们需要找出X0和Y0。这可能是与Z0正交的任何两个线性独立的向量。

因此，首先，让我们在XY平面中为我们的X0矢量选择一个向量：

x0 = normalize(z0_y, -z0_x, 0)

现在，如果您的Z0恰好是表格（0、0，Z0_Z），则会失败，因此我们需要一个特殊情况：

if (z0_x == 0 && z0_y == 0) {
  x0 = (1, 0, 0)
}
else {
  x0 = normalize(z0_y, -z0_x, 0)
}

最后，假设我们不希望偏斜，选择y0与x0和y0都是正交的，然后使用交叉产品

y0 = normalize(x0_y*y0_z-x0_z*y0_y, x0_z*y0_x-x0_z*y0_z, x0_x*y0_y-x0_y*y0_x)

现在，您可以填写转换矩阵。

免责声明：在使用浮点数表示您的数字时应采取适当的注意，在这种情况下，简单（FOO == 0）测试不足。在开始实施内容之前，请阅读浮点数学。

编辑：为了清晰而更名一些变量