Dessin d'un plan

Question

Je veux dessiner un plan qui est donné par l'équation: Ax + By + Cz + D = 0. J'ai d'abord essayé de l'attirer en définissant x, y et z alors obtenir de l'équation. cela n'a pas très bien parce qu'il ya des avions comme 0x + 0y + z + 0 = 0 et etc ...

ma solution actuelle est la suivante: - établir le plan sur plan ZY en donnant 4 coordonnées qui tend vers l'infini. - à savoir la rotation qui devrait être fait afin d'amener la normale du plan donné (a, b, c) d'établir sur l'axe z. - trouver la traduction qui devrait être fait pour que ce plan soit sur l'axe x. - faire la transformation exactement opposés à ceux rotation et à cette traduction donc je vais obtenir le
avion à sa place.

ok

est une grande chose, mais je peux faire les calculs mathématiques appropriés (essayé beaucoup de fois ...) avec le produit scalaire et etc ....

quelqu'un peut me aider à comprendre la manière exacte, il doit être fait ou me donner une formule dans laquelle je vais mettre ABCD et obtenir la transformation droite?

Answer 1

Est-ce que vous demandez?

Transformer un simple plan comme le plan xy à votre plan est assez simple:

votre avion est Ax + By + Cz + D = 0

le plan xy est simplement z = 0. à savoir A = B = D = 0, tandis que C = tout ce que vous voulez. Nous disons 1 pour des raisons de simplicité.

Quand on a un plan sous cette forme, la normale du plan est défini par le vecteur (A, B, C)

donc vous voulez une rotation qui vous mènera de (0,0,1) à (A, B, C) *

* Notez que cela ne fonctionnera que si {A, B, C} est unitaire. vous pouvez donc avoir à diviser A B et C chacun par sqrt (A ^ 2 + B + C ^ 2 ^ 2).

tournant autour deux des axes peut obtenir votre de toute direction à toute autre direction, nous allons donc chercher x et y;

ici sont les matrices de rotation pour la rotation par un autour de l'axe x, et b autour de l'axe y.

Rx: = {{1, 0, 0}, {0, Cos [a], Sin [a]}, {0, -Sin [a], Cos [a]}}

Ry: = {{Cos [b], 0, -Sin [b]}, {0, 1, 0}, {Sin [b], 0, Cos [b]}}

si nous faisons une rotation autour de x, suivie d'une rotation autour de y, du vecteur normal au plan xy, (0,0,1), nous obtenons:

Ry.Rx. {0,0,1} = {cos [a] Sin [b], Sin [a], Cos [a] Cos [b]}

qui sont vos valeurs A B C.

i.e..

A = cos [a] Sin [b]

B = Sin [a]

C = cos [a] Cos [b]

A partir de là, il est simple.

a = Asin [B]

maintenant A = cos [Asin [B]] Sin [b]

Cos [Asin [x]] = sqrt (1-x ^ 2) donc:

A = -Sqrt [1-B ^ 2] * sin [b]

b = Asin [-A / sqrt [1-B ^ 2]]

a = Asin [B] (rotation autour de l'axe des x)

b = Asin [-A / sqrt [1-B ^ 2]] (rotation autour de l'axe y)

Nous avons maintenant les angles sur les axes x et y, nous devons tourner par.

Après cela, il vous suffit de déplacer votre avion vers le haut ou vers le bas jusqu'à ce qu'il corresponde à celui que vous avez déjà.

Le plan que vous avez à l'heure actuelle, (après ces deux rotations) va être Ax + By + Cz = 0.

le plan que vous voulez est Ax + Bx + Cz + D = 0. Pour en savoir d, nous verrons où l'axe z croise votre plan.

i.e.. Cz + D = 0 -> z = -D / C

Nous transformons votre z à Ax + By + Cz = 0 par -D / C pour donner:

Ax + By + C (z + D / C) = Ax + By + Cz + D = 0. Oh-vous regarder ça!

Il s'avère que vous ne devez pas faire des mathématiques supplémentaires une fois que vous avez les angles de rotation par!

Les deux angles vous donnera A, B et C. Pour obtenir D copier juste de ce que vous aviez.

Je espère que ce de l'aide, je ne suis pas tout à fait sûr de savoir comment vous envisagez de dessin en fait le plan que ...

modifié pour corriger une mise en forme horrible. espérons qu'il va mieux maintenant.

Answer 2

Vous voulez la matrice de transformation suivante:

    [ x0_x y0_x z0_x o_x ]
M = [ x0_y y0_y z0_y o_y ]
    [ x0_z y0_z z0_z o_z ]
    [    0    0    0   1 ]

Ici, Z0 est la normale de votre avion, et o est l'origine de votre avion, et x0 et y0 sont deux vecteurs dans votre plan orthogonal à Z0 qui définissent la rotation et l'inclinaison de votre projection.

Ensuite, tout point (x, y) sur votre plan XY peut être projeté à un point (p_x, p_y, p_z) votre nouveau plan avec les éléments suivants:

(p_x, p_y, p_z, w) = M * (x, y, 0, 1)

maintenant, Z0 dans votre matrice de transformation est facile, c'est normal de votre avion et qui est tout simplement n = normalize(a,b,c).

En choisissant le reste cependant, vous avez nettement plus de liberté. Pour l'origine, vous pouvez prendre le point que le plan coupe l'axe Z, à moins bien sûr le plan est parallèle à l'axe Z, auquel cas vous avez besoin d'autre chose.

par exemple.

if (c != 0) { //plane intersects Z axis
  o_x = 0;
  o_y = 0;
  o_z = -d/c;
}
else if (b != 0) { // plane intersects Y axis
  o_x = 0;
  o_y = -d/b;
  o_z = 0;
}
else { // plane must intersect the X axis
  o_x = -d/a;
  o_y = 0;
  o_z = 0;
}

Dans la pratique vous pouvez préférer un test différent de celui (c != 0), car avec ce test, il réussira même est c est très très petit mais juste différent de zéro, ce qui votre origine pour être à dire, x=0, y=0, z=10e100 qui ne serait probablement pas souhaitable. Donc, certains tests comme (abs(c) > threshold) est sans doute préférable. Cependant, vous pouvez bien sûr prendre un point tout à fait différent dans le plan pour mettre l'origine, peut-être le point le plus proche de l'origine de votre système de coordonnées d'origine, ce qui serait:

o = n * (d / sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

Alors, enfin, nous devons trouver un x0 et y0. Ce qui pourrait être deux vecteurs quelconques linéairement indépendants qui sont orthogonales à Z0.

Alors d'abord, nous allons choisir un vecteur dans le plan XY pour notre vecteur x0:

x0 = normalize(z0_y, -z0_x, 0)

Maintenant, cela ne fonctionne pas si votre Z0 se trouve être de la forme (0, 0, z0_z) donc nous avons besoin d'un cas particulier pour que:

if (z0_x == 0 && z0_y == 0) {
  x0 = (1, 0, 0)
}
else {
  x0 = normalize(z0_y, -z0_x, 0)
}

Enfin, disons que nous ne voulons pas de biais et choisissez y0 orthogonaux à la fois x0 et y0, puis, en utilisant la CrossProduct

y0 = normalize(x0_y*y0_z-x0_z*y0_y, x0_z*y0_x-x0_z*y0_z, x0_x*y0_y-x0_y*y0_x)

Maintenant, vous avez tout à remplir votre matrice de transformation.

Avertissement: il faut prendre soin lors de l'utilisation appropriée des représentations à virgule flottante pour vos numéros, tests simples (foo == 0) ne sont pas suffisantes dans ces cas. Renseignez-vous sur les mathématiques à virgule flottante avant de commencer à mettre en œuvre des choses.

Edit: renommé certaines variables pour plus de clarté