在Mathematica中求解Biharmonic方程

Question

我正在尝试使用DSOLVE在Mathematica中求解线性biharmonic方程。我认为，这个问题不仅限于Biharmonic方程式，而且Mathematica只是在尝试解决它时就吐出了方程式。

我已经尝试求解其他部分微分方程，没有麻烦。

Biharmonic方程仅是：

Laplacian^2[f]=0

这是我的方程式：

DSolve[
 D[f[x, y], {x, 4}] + 2 D[D[f[x, y], {x, 2}, {y, 2}]] + 
   D[f[x, y], {y, 4}] == 0,
 f,
 {x, y}]

解决方案被吐出

DSolve[(f^(0,4))[x,y]+2 (f^(2,2))[x,y]+(f^(4,0))[x,y]==0,f,{x,y}]

那显然不是解决方案。是什么赋予了？我想念什么？我已经解决了没有边界条件的其他PDE。

Answer 1

如何在极坐标中尝试？如果 f(r, \[Theta]) 相对于方位角是对称的 \[Theta], ，Biharmonic方程减少到Mathematca可以象征性解决的问题（CF http://mathworld.wolfram.com/biharmonicequation.html):

In[22]:= eq = D[r D[D[r D[f[r],r],r]/r,r],r]/r;
eq//FullSimplify//TraditionalForm

Out[23]//TraditionalForm= f^(4)(r) + (2 r^2 f^(3)(r) - r f''(r)
                           + f'(r))/r^3

In[24]:= DSolve[eq==0,f,r]
Out[24]= {{f -> Function[{r}, 
                 1/2 r^2 C[2] - 1/4 r^2 C[3] + C[4] + C[1] Log[r] 
                   + 1/2 r^2 C[3] Log[r]
                ]}}

In[25]:= ReplaceAll[
    1/2 r^2 C[2]-1/4 r^2 C[3]+C[4]+C[1] Log[r]+1/2 r^2 C[3] Log[r],
    r->Sqrt[x^2+y^2]
]
Out[25]= 1/2 (x^2+y^2) C[2]-1/4 (x^2+y^2) C[3]+C[4]+C[1] Log[Sqrt[x^2+y^2]]+ 
1/2 (x^2+y^2) C[3] Log[Sqrt[x^2+y^2]]