Resolviendo la ecuación biharmónica en Mathematica
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26-10-2019 - |
Pregunta
Estoy intentando resolver la ecuación biharmónica lineal en Mathematica usando DSOLVE. Creo que este problema no solo se limita a la ecuación biharmónica, sino que Mathematica simplemente escupe la ecuación cuando intento resolverla.
He intentado resolver otras ecuaciones diferenciales parciales y no hubo problemas.
La ecuación biharmónica es solo:
Laplacian^2[f]=0
Aquí está mi ecuación:
DSolve[
D[f[x, y], {x, 4}] + 2 D[D[f[x, y], {x, 2}, {y, 2}]] +
D[f[x, y], {y, 4}] == 0,
f,
{x, y}]
La solución es escupir como
DSolve[(f^(0,4))[x,y]+2 (f^(2,2))[x,y]+(f^(4,0))[x,y]==0,f,{x,y}]
Obviamente, esa no es la solución. ¿Lo que da? ¿Qué me estoy perdiendo? He resuelto otros PDE sin condiciones de contorno.
Solución
¿Qué tal probarlo en coordenadas polares? Si f(r, \[Theta])
es simétrico con respecto al azimut \[Theta]
, la ecuación biharmónica se reduce a algo que Mathematca puede resolver simbólicamente (cf http://mathworld.wolfram.com/biharmonicequation.html):
In[22]:= eq = D[r D[D[r D[f[r],r],r]/r,r],r]/r;
eq//FullSimplify//TraditionalForm
Out[23]//TraditionalForm= f^(4)(r) + (2 r^2 f^(3)(r) - r f''(r)
+ f'(r))/r^3
In[24]:= DSolve[eq==0,f,r]
Out[24]= {{f -> Function[{r},
1/2 r^2 C[2] - 1/4 r^2 C[3] + C[4] + C[1] Log[r]
+ 1/2 r^2 C[3] Log[r]
]}}
In[25]:= ReplaceAll[
1/2 r^2 C[2]-1/4 r^2 C[3]+C[4]+C[1] Log[r]+1/2 r^2 C[3] Log[r],
r->Sqrt[x^2+y^2]
]
Out[25]= 1/2 (x^2+y^2) C[2]-1/4 (x^2+y^2) C[3]+C[4]+C[1] Log[Sqrt[x^2+y^2]]+
1/2 (x^2+y^2) C[3] Log[Sqrt[x^2+y^2]]
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