ergodic Markov链固定分布：求解方程

Question

我试图求解一组方程以确定ergodic马尔可夫矩阵的静止分布。

即，矩阵是

P=[0   0   0   0.5 0   0.5;
   0.1 0.1 0   0.4 0   0.4;
   0   0.2 0.2 0.3 0   0.3;
   0   0   0.3 0.5 0   0.2;
   0   0   0   0.4 0.6 0;
   0   0   0   0   0.4 0.6];

.

和该组等式是来自以下定性的方程式

如何将上面的方程转换为有效的matlab语法？

Answer 1

静止分布由左 eIgen载体给出，具有特征值1。

>> [V D] = eig( P.' ); %// note the transpose .' - we are looking for the **left** EV
>> st = V(:,1).'; %//' the stationary distribution
st =
 0.0051    0.0509    0.2291    0.6110    0.5346    0.5346
>> D(1)
 1.0000

.

Answer 2

这是一个不同的方法，来自@ shai的答案。

替代方法来求解PI * P= PI方程，用于稳定状态，忽略PI_J所需总和是一个（现在）的要求。

一个小矩阵代数...

然后我们知道PI没有唯一的解决方案，没有“总和1”要求。PI必须位于（转置（p） - i）的nullspace中。Matlab擅长这一点。归一化后给出所需的结果（如@luismendo所指出的评论）。

 P=[0   0   0   0.5 0   0.5;
   0.1 0.1 0   0.4 0   0.4;
   0   0.2 0.2 0.3 0   0.3;
   0   0   0.3 0.5 0   0.2;
   0   0   0   0.4 0.6 0;
   0   0   0   0   0.4 0.6];

I = eye(size(P));

Y = null(P'-I)
PI = Y./(sum(Y))

.

很容易检查。

>> PI(:)'     % Force into row vector
ans =
    0.0026    0.0259    0.1166    0.3109    0.2720    0.2720

.

与25步转换矩阵进行比较。

P5 = P*P*P*P*P;
P25 = P5*P5*P5*P5*P5;
>>P25 =
    0.0026    0.0259    0.1166    0.3109    0.2720    0.2720
    0.0026    0.0259    0.1166    0.3109    0.2720    0.2720
    0.0026    0.0259    0.1166    0.3109    0.2720    0.2720
    0.0026    0.0259    0.1166    0.3109    0.2720    0.2720
    0.0026    0.0259    0.1166    0.3109    0.2720    0.2720
    0.0026    0.0259    0.1166    0.3109    0.2720    0.2720

.