幂等代数的算法

Question

Boolean代数表达式可以使用幂等代数转换为使用 $$ \ bar a \ Equif 1-a，\ qquad a \ vee b \ Equiv a + b -ab，\ qquad a \ wedge b \ Equiv a \ otimes b $$ < / span>

其中 $ \ otimes $ 是IDEMPOTENT产品（无权力）。例如， $$（a + b）\ otimes（a-b）= a -ab + ab - b= a-b。$$

CNF公式

$$ \ phi=（a \ vee b）\; （b \ vee c）（b \ vee \ bar c）（\ bar b \ vee \ bar c）\; （a \ vee c）（\ bar a \ vee \ bar c）$$

可以转换为我称之为幂等的表达式 $$ \ phi=（a + b - ab）\ otimes（b-bc）\ otimes（a + c-2ac）。$$

此表达式扩展为给出 $ \ phi= ab - abc $ 。我想要一种算法，给定CNF公式作为输入，以最低的同质性输出术语。在此示例中，Oracle将返回 $ ab $ 。 （如果有多个术语全体均匀性，则算法可以返回其中任何一个。）

问题1：这项任务的复杂性是什么？多项式层次结构有多高？

其次，给定不同的幂态表达式 $$ \ phi= ac + ad + bc + bd-abc-abd-2acd-2bcd + 2abcd，$$ < / p>

我有兴趣通过相同的同质性对这些术语进行求和。通过让所有变量为 $ \ epsilon $ 我们得到 $$ \ phi= 4 \ epsilon ^ 2 - 6 \ epsilon ^ 3 + 2 \ epsilon ^ 4。$$ 这产生了 $ [0,0,4，-6,2] $

的同质性矢量。

问题2：考虑到IDEMPOTENT表达式作为输入，计算同质性矢量的复杂性是什么？多项式层次结构有多高？

Answer 1

让我们考虑以下第一个问题的以下决定版本：

给定SAT实例，它的多线性表示是否具有大多数 $ D $ ？

的程度

我声称是SAT实例具有满足分配的情况，具有大多数 $ d $ 。

实际上，假设 $ m $ 是实例的多线性表示中的包含 - 最小术语。替换为 $ m $ 和0的变量的变量为 $ m $ ，我们得到1，即，满足实例。这表明，如果多线性表示具有大多数 $ d $ 的程度，则实例具有满足分配，具有最多 $ d $ 。

现在假设多线性表示中的所有术语都具有超过 $ d $ 。如果我们用大多数 $ d $ 替换任何赋值，那么所有单体等于0，所以赋值伪造了实例。

因此，决策版本相当于MIN-ONE-SAT，这是以下问题：

给定SAT实例，它是否具有满足分配，具有最多 $ d $ ONE？

问题在NP中（很容易计算令人满意的分配中的数量），并且显然是NP-Hard（拍摄 $ d= n $ ）。因此，问题是NP完整。

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使用NP Oracle，我们可以轻松找到具有最小程度的单组分，等效地，具有最小的令人满意的分配。只需在其中一个变量中替换为0，并看看它是否增加了解决方案的最小权重。如果是这样，将此变量设置为1，否则将其设置为零，然后继续到下一个变量。这回答了你的第一个问题。