在图中获胜给定游戏的策略

Question

游戏如下。两个玩家正在玩游戏，球员1和玩家2，其中第一名玩家通过命名一个Hero $ h_1 $ ，然后播放器2与恶棍 $ v_1 $ 谁在带 $ h_1 $ 的电影中播放。然后，玩家1与另一个英雄 $ h_2 $ 返回，谁在电影中与 $ v_1 $ 一起播放，等等。每个英雄和恶棍都可以最多使用一次。第一个不能命名任何角色的球员（可用的英雄/恶棍没有常见的电影，其中包含其他玩家的最后选择），失去了游戏。玩家1始终开始游戏。

输入是一组英雄 $ h $ ，一组恶果 $ v $ （ $ | h |= | v | \ geq 1 $ ）和一系列电影 $ m $ ，每部电影都是一部在那部电影中出现的英雄和恶棍。

问题是：可以基于 $ h $ ， $ v $ 和 $ m $ ，决定哪个玩家赢得游戏假设两个玩家正在最佳播放？

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示例：

鉴于以下数据：英雄是 Iron Man ， Captain America ， Thor 和 Spider-Man 。恶棍是鞭打， Ultron ， Thanos 和秃鹰。这部电影是复仇者：无限战争（星星钢铁侠，美国船长，雷切和蜘蛛侠）和蜘蛛侠：Homecoming （Stars Iron Man，Vulture和Staring）蜘蛛侠）。你可以决定哪个玩家有胜利策略？

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我的方法是使用最大的二分体匹配来了解哪个玩家具有胜利策略，因为我们可以用两组分割数据，即 $ h $ 和 $ v $ 并在这两组之间具有关系。 HopCroft-Karp算法可以采用两种这样的组，找出最大基数。如果我错了，请纠正我：在有一个完美匹配的情况下，玩家2赢，否则玩家1胜。每当有一个完美的匹配时，它意味着玩家2一直对球员1命名的英雄答案。

你怎么解决这个问题？是否有更好，更高效的解决方案，而不是一些最大的二分匹配。

Answer 1

短答案是，如果相应的图表承认“封面”设置 $ h $ 。

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这里有点解释。

你的想法几乎是正确的。但是，证明不直观，如果您需要设计一个理论问题，或者您需要设计精确的获胜策略，并且不仅输出获胜播放器，您可能会错过您需要的一些细节。

所以让我们从答案中遗漏的部分开始。假设给定实例对应于承认完美匹配的图表。根据您的策略，播放器2在这种情况下赢得了正确的。现在假设相同的例子是一个更有恶棍或10个更大的恶棍或一千个。显然，员工两个仍然赢得了因为我们为他们分配的恶棍而赢得了胜利，只有帮助第二个玩家。所以你的索赔并不总是保持。但是，您的答案非常接近我的索赔，并具有相同的直觉。它只是缺少一点形式。

索赔。假设两个玩家在最佳播放，如果才能才能赢得一个实例 $ i $ ，相应的图不承认匹配饱和set $ h $ 。

所以这是什么意思？匹配饱和一组顶点 $ s $ ，如果 $ s $ 是事件到a的每个顶点匹配中的顶点。 现在我们证明了索赔。当图表承认饱和Set $ H $ 和两个用于播放器时，当图表不承认这种匹配时，我们展示了两个获胜策略。

证明。现在假设图表承认这样的匹配。让此匹配是 $ m $ 。该战略如下。只要玩家一个没有丢失，对于每次选择 $ h \以h $ 为玩家，选择 $ v \在V $ 中，顶点匹配 $ h $ $ m $ 。

直接从播放器两个顶点唯一且邻近玩家的选择（由于匹配的属性）的事实遵循。直观地，球员在某些时候会耗尽移动（可能在设置的所有英雄之后 $ h $ ）。

现在假设图表不承认匹配饱和 $ h $ ，根据HALL的定理，有一个子集 $ a \ subseteq h $ ，这样 $ | n（a）| <$ 。选择一个最小的包含明智的集合。我们声称存在一个匹配的 $ m'$ ，它饱和 $ n（a）$ 。否则否则，再次由于大厅，还有一个子集 $ s \ subseteq n（a）$ 这样 $ | n （s）| ，但然后删除 $ n（s）\ cap a $ from $ a $ 和 $ s $ from $ n（a）$ 产生 $ a $ 也违反了大厅的条件，这与 $ a $ 的选择形成矛盾，这是最小的。因此，存在一个匹配的 $ m'$ ，它饱和 $ n（a）$ 。

现在策略如下。在 $ a $ 中选择一个顶点，它不是 $ m $ 中的任何边缘。由于 $ | n（a）|因此存在这样的顶点<| A | $ 。首先选择此顶点，对于播放器二，每个选择 $ v \ v in v $ ，选择顶点 $ h \ h $ 匹配 $ v $ $ m'$ 。

再次，很容易看到播放器两个在某些时候耗尽移动（可能在选择 $ n（a）$ 中的所有顶点之后因此，玩家一个胜利。