グラフ上の特定のゲームのための勝利戦略

Question

ゲームは次のようになります。 2人のプレイヤーはゲームをプレイしています、最初のプレイヤーがヒーロー $ h_1 $ を命名して始まり、プレーヤー2が悪役 $ v_1 $ $ h_1 $ を備えたムービーで再生されました。その後、Player 1は、 $ v_1 $ と一緒にムービーで再生した他のヒーロー $ h_2 $ で反応します。やり方。各ヒーローと悪役は一度だけ使用することができます。どんなキャラクターにも命名できない最初のプレイヤー（他のプレイヤーの最後の選択肢と共に共通の映画がありません）を失います。プレイヤー1は常にゲームを開始します。

入力は、Heroes $ H $ のセットです。 $ v $ のセットです。 $ | | h |= | v | \ GEQ 1 $ ）および映画のファミリー $ m $ 各映画は、その映画の中に登場した一連の英雄と悪役です。

質問は次のとおりです。 $ h $ 、 $ v $ と $ m $ 、両方のプレイヤーが最適に再生されていると仮定して、どのプレイヤーがゲームに勝つかを決めますか？

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例：

次のデータを考えると：英雄は鉄のマン、キャプテンアメリカ、 Thor 、 Spider-Man 。悪役は、 whiplash 、極小、 andos 、ハゲタリーです。映画は Avengers：Infinity War （星鉄の男、キャプテンアメリカ、トール、タナスとスパイダーマン）とスパイダーマン：homecoming （星人、ハゲタカ）スパイダーマン）。どのプレイヤーが勝利の戦略を持っているかを決めることができますか？

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私のアプローチは、データを2つのセットで分割することができますが、 $ h $ でデータを分割することができるため、最大のバイパリットマッチングを使用することです。 $ v $ これら2つのセット間の関係を持ちます。 Hopcroft-Karpアルゴリズムは、そのようなセットのうちの2つを取り、最大濃度を見つけることができます。私が間違っているのなら、私を修正してください：完璧なマッチングがある場合には、プレイヤー2が勝ち、それ以外の場合はプレーヤー1が勝ちます。完璧なマッチングがあるときはいつでも、それはプレイヤー2が常にそのプレイヤー1という名前のヒーローに対する答えを持っていたことを意味します。

これをどのように解決しますか？いくつかの最大二部マッチングよりも良く、より効率的な解決策があります。

Answer 1

短い答えは、対応するグラフが「カバー」と表示されている $ h $ の一致を認める場合に限り、プレイヤー2が勝ちます。

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これは少し説明です。

あなたのアイデアはほぼ正しいです。しかし、証明は直感的ではなく、あなたが理論的な質問である場合、またはあなたが正確な勝利戦略を設計する必要があるならば、あなたが必要ないくつかの詳細を見逃すかもしれません。

だからあなたの答えから欠けている部分から始めましょう。与えられたインスタンスが完璧なマッチングを認めるグラフに対応すると仮定する。あなたの戦略によると、プレイヤー2がこの場合正しいです。今、同じインスタンスがもう1つの悪役、またはさらに10人の悪役が与えられていると仮定してください。明らかに、プレイヤー2人が静止していると、私たちがそれらの割り当て方法に関係なく、依然として悪役を追加してから勝ちます。だからあなたの主張は必ずしも保持していません。しかし、あなたの答えは私の主張に非常に近く、同じ直感があります。それは単なる形式を見逃しているだけです。

クレーム。両方のプレイヤーが最適に再生されていると仮定して、インスタンス $ i $ が与えられた場合に限り、プレイヤー1が勝ちます。グラフは、set $ H $ を飽和させるマッチングを認めません。

だからそれはどういう意味ですか？ $ s $ の各頂点がインシデントされている場合、一致する頂点のセット $ s $ マッチングの頂点。 今、私たちは主張を証明しています。グラフが飽和している $ h $ 、グラフがそのようなマッチングを許可しない場合は、2つの勝利の戦略をプレイヤー2に表示します。 。

証明書グラフがそのようなマッチングを認めていると仮定します。このマッチングを $ m $ にすることができます。戦略は次のようになります。プレーヤーが失われなかった限り、選択したそれぞれの選択 $ h \ in h \ プレーヤーの場合は、 $ v \を選択します。 v $ $ m $ の $ h $ に照合された頂点。

プレーヤー2の各頂点がプレーヤーの選択に隣接している（マッチングのプロパティに起因する）という事実から直接正しいことを続けます。直感的に、プレーヤーの1つはいくつかの時点で動きがなくなります（おそらく、セット内のすべての英雄を選択した後、 $ H $ ）。

現在グラフが飽和 $ h $ を認めていないと仮定して、Hallの定理によると、サブセットがあります。 $ | n（a）| <$ 。包含的に最小限のセットを選択してください。 $ n（a）$ を飽和させるマッチング $ m '$ があると主張しています。そうでなければ、再びホールのために、サブセット $ s \ subseteq n（a）$ が $ | n （S） ですが、 $ n（s）\ cap a $ を削除します。 $ a $ と $ s $ から $ n（a）$ のサブセットを生成します $ A $ はまた、 $ a $ の選択と矛盾を形成するホールの条件も最小限に抑えます。したがって、 $ n（a）$ を彩りするマッチング $ m '$ があります。

今戦略は以下のようになります。 $ a $ の頂点を選択してください。 $ m $ の任意のエッジにはインシデントされません。 $ | n（a）からなるので、そのような頂点が存在します。 <| a | $ 。最初の頂点でこの頂点を選択し、選択 $ v \ inv のvertex $ h \ inを選択します。 $ v $ $ m '$ に照合されました。

再び、プレイヤー2がある時点で移動不足があることは簡単に（ $ n（a）$ のすべての頂点を選択した後）、それ故、プレーヤーは1勝します。