用于在O（v * e）时间中查找DAG的不可缩短内核的算法，其中E是输出边的数量

Question

不可挽回的内核是图表算法章节中理论计算机科学（HTCS），卷“算法和复杂性”手册中使用的术语。给定针对图 $ g=（v，e）$ ，一个不可缩短的内核是一个图 $ g'=（v ，e'）$ 其中 $ e'$ 是 $ e $ 的子集，和 $ g $ 和 $ g'$ 具有相同的可达性（即它们的传递关闭是相同的），然后从 $ e'$ 中删除任何边缘不会满足此条件，即 $ e'$ 是最小的（尽管不一定是最小尺寸）。

最小等效图是相似的，除了它还具有所有这些图中最少的边缘。这两种概念都类似于传递还原，但不相同，因为允许传递还原具有不在 $ e $ 的边缘。据说，[1]证明，对于每个DAG，它具有独特的不可缩短的内核，这也是其独特的最小等效图以及其独特的传递减少，因此在差动减少中没有任何益处，以使用未在原始的边缘图表（对于具有循环的一些图形的最小等效图和传递转化差异，但不适用于DAG）。

HTCS说，有一种算法在 $ o（v * e）$ 时间中，在 $ v $ 是顶点的数量， $ e $ 是IRRAFUIBLE内核中的边缘数，即<算法的EM>输出。对此的参考是以下文件，我未能找到一个在线来源（链接或其他来源欢迎 - 我可以很快在研究库中询问，如果没有，如果没有任何东西，我就可以很快在研究库中提出）。

noltemeier，H，“减少指向图形到Irreafucible核”，讨论纸7505，Lehrstuhl F. Mathematische Verfahrensforschung U。 DateNverarbeitung（运营研究和数据处理），Univ。 Göttingen，Gottingen，1975年。

有谁知道这个算法是什么？它让我感到惊讶的是，它包括输出图中的边缘的数量，因为这意味着它应该在<跨度=“数学容器”> $ O（n ^ 2）$ 时间中运行输入图表与 $ o（n ^ 2）$ 表示总订单的边，例如所有节点都是从1到 $ n $ 的整数，并且来自node $ i $ 到 $ j $ 如果 $ i 。这似乎不可能，介意你，只是令人惊讶。

[1] aho，garyy和ullman，“定向图的传递减少”，1972 https://epubs.siam.org/doi/10.1137/0201008

Answer 1

我不知道他们的算法，但问题很容易在 $ \ mathcal {o}（v \ cdot e）$ 时间。这个想法是只能从每个节点中执行DFS以找到可以到达它的顶点。通常情况下，这需要 $ \ mathcal {o}（e）$ 时间，但我们可以使用IRREucible内核我们已经建立在 $ \ mathcal {o}（e）$ 时间。

首先注意， $ e \ geq n-1 $ 如果连接。如果不是，则单独解决连接的组件。

首先在顶点上进行拓扑排序，首先具有图形零点的顶点。首先循环顶点。当在顶点 $ i $ 时，首先标记所有顶点作为无法访问的。然后从 $ i-1 $ 到 $ 1 $ 。在每个顶点 $ j $ 时，如果 $ j $ 无法访问，并且有一个边缘到 $ i $ 在输入图中，将边缘 $（j，i）$ 添加到Irreafible内核和标记 $ j $ 可访问。然后，如果 $ j $ 可到达，则循环所有边缘 $（t，j）$ 在我们的内核中，并标记 $ t $ 可访问。

拓扑排序需要 $ \ mathcal {o}（v + e）$ 时间，并且dfs需要 $ mathcal {o}（e + v \ cdot e）$ 时间，因此由于 $ e=mathcal {\ omega}（v）$ ，运行时间是 $ \ mathcal {o}（v \ cdot e）$ 。

所产生的DAG具有与原始图形相同的可达性，因为我们使用原始边缘的子集，并且仅跳过添加边缘 $（j，i）$ 如果 $ i $ 可从 $ j $ 即使没有它。

假设一些边缘 $（j，i）可以在保持可达性同时删除$ 。但顺便说一下，我们做了DFS， $ i $ 无法从 $ j $ 没有边缘（请注意，它们之间的任何路径只能在拓扑顺序之间访问它们之间的顶点）。因此，所产生的DAG确实是不可缩短的。