알고리즘을 찾기 위한 돌이킬 수없는 커널의 DAG O(V*e)시간,전자는 수의 가장자리에서 출력

Question

돌이킬 수없는 커널에 사용되는 용어의 이론적인 컴퓨터과학과(HTCS),볼륨"알고리즘과 복잡성에서"장에서 그래프 알고리즘이 있습니다.주어진 방향 그래프 $G=(V,전자)$, 는 돌이킬 수없는 커널은 그래프 $G=(V,전자')$ 가 $E'$ 하위 집합의 $E$, 모두 $G$ 고 $G$ 동일한 연결성(즉그들의 전이 폐쇄은 동일),그리고 제거하는 모든에서 가장자리 $E'$ 을 충족이 상태,즉 $E'$ 최소(지 않지만 반드시 최소 크기를 가능).

최소한 해당 그래프는 유사한을 제외하고,그것은 또한 가장 적은 수의 가장자리를 사이에서 이러한 모든 그래프.이와 유사한 전이 감소,하지만 동일하지 않기 때문에 전이 감소가 보유할 수 있는 가장자리에 있지 않은 $E$.즉,말했다[1]는 증명에 대한 모든 DAG,그것은 독특한 돌이킬 수없는 커널은 또한 그것의 고유한 최소한 해당 그래프 및 그것의 고유한 전이 감소하고,따라서 어떤 혜택은 없에는 전이 감소를 사용하지 않고 원래 그래프(사이에는 차이가 있 최소한 해당 그래프 및 전이 감소를 위해 일부는 그래프 사이클,하지만 Dag).

HTCS 가 있다고 말한 알고리즘을 계산하는 돌이킬 수없는 커널의 지시 비순환 그래프 $O(V*e)$ 시간 $V$ 은 수의 꼭지점, $e$ 은 수의 가장자리에 돌이킬 수없는 커널,즉이 출력 의 알고리즘이 있습니다.참조를 위해 주어진 이것은 다음과 같은 종이는 없었을 찾을 수있는 라인에서 소스를 위한 아직(링크 또는 다른 소스를 환영-내에 요청할 수 있는 연구는 라이브러리는 아무것도로).

Noltemeier,H.,"감소의 지향은 그래프를 돌이킬 수없는 커널",논문 7505,Lehrstuhl f.란이 에피소 Verfahrensforschung u.Datenverarbeitung(Operations Research&데이터 처리),Univ.Gottingen,괴팅겐,1975.

이게 무엇인지 알고리즘은?그것은 놀라움이 나에게 작은 포함하는 수의 가장자리에서 출력 그래프,이후에는 것을 의미는 그것을 실행해야에서 $O(n^2)$ 주어진 시간 입력 그래프 $O(n^2)$ 가장자리를 나타내는 총기 위해,예를 들어,모든 노드에 할당된 정수에서 1 까지 $n$, 고 있는 가장자리에서 노드 $i$ 하기 $j$ 는 경우 $i < j$.지 않는 불가능한 것처럼 보일,당신을 마음,단순히 놀라운 일이 아니다.

[1]Aho,Garey 및 Ullman,"전이 감소의 방향 그래프",1972 https://epubs.siam.org/doi/10.1137/0201008

Answer 1

나는에 대해 알지 못하는 그들의 알고리즘,하지만 문제는 쉽게 해결 $\mathcal{O}(V\cdot e)$ 시간입니다.아이디어를 단지 DFS 에서 모든 노드를 찾을 수 있는 정점에 도달 할 수 있습니다.일반적으로 이 $\mathcal{O}(E)$ 시간을,그러나 우리가 사용할 수 있는 돌이킬 수없는 커널 이미 내에서 그것을 할 $\mathcal{O}(e)$ 시간입니다.

첫 참고 $e\hra 출력 n-1$ 는 경우에는 그래프가 연결되어 있습니다.그렇지 않을 경우 해결하고 구성 요소가 연결되어 있습니다.

시작 하여 위상 정렬에 꼭지점,꼭지점과 함께 indegree 제로 처음이다.루프 첫 번째 정점을 마지막입니다.면서 꼭지점 $i$, 첫째,모든 꼭지점으로 접근할 수 없음을 의미합니다.다음 루프에서 꼭지점 $i-1$ 하기 $1$.에서 모든 꼭지점 $j$, 는 경우 $j$ 에 연결할 수 없는 가장자리 $i$ 에서의 입력,그래프 추가리 $(j,i)$ 을 돌이킬 수없는 커널 마크 $j$ 에 접근할 수 있습니다.는 경우 다음 $j$ 이 연결 가능한 모든 루프 가장자리 $(t,j)$ 에서 커널,마크 $t$ 에 접근할 수 있습니다.

위상 정립 $\mathcal{O}(V+E)$ 시간며,DFS 걸리 $\mathcal{O}(E+V\cdot e)$ 시간을,그 이후 $e=\mathcal{\오메가}(V)$, 은,실행 시간 $\mathcal{O}(V\cdot e)$.

생산 DAG 같은 도달 가능성이 원래 그래프로,우리는 우리의 하위 집합을 사용하는 원리만 건너뛰기 추가리 $(j,i)$ 는 경우 $i$ 로 연결 $j$ 도 없습니다.

가정 일부 가장자리 $(j,i)$ 삭제할 수 있습을 유지하면서 도달 가능성.그러나 우리가 DFS, $i$ 었에서 접속할 수 없 $j$ 지 않고 가장자(모든 그들 사이의 경로를 수만 방문하는 정점에서 그들 사이의 위상 순서).따라서 생산 DAG 은 참으로 쪼갤 수 없다는 겁니다.