易于采样的设置，但难以从其补充中进行采样

Question

给定集合 $ s \ subseteq \ {0,1 \} ^ * $ ，算法 $ a $ 是 $ s $ 如果给定 $ n $ 随机位 $ x \ in \ {0,1 \} ^ n $ ， $ a $ 生成 $ s $ 大小 $ n $ ，和 $ a $ 可以至少生成 $ \ frac {2} {3} $ $ s $ 的大小 $ n $ （对于所有 $ n $ ）。 $ a $ 不必是均匀的。

是一个set $ s $ ，使得存在有效的算法 $ a $ 对于所有 $ n $ ， $ a $ 生成至少 $ \ frac {2} {3} $ $ s $ （大小 $ n $ < / span>），但是对于 $ s ^ c $ 的任何有效算法只能生成大多数 $ \ frac {1} {3} $ 来自 $ s ^ c $ 大小 $ n $ （下复杂性Asuumptions）？

Answer 1

我们可以构建 $ s $ ，使得 $ a $ 的多项式时间生成器存在，而 $ s ^ {c} $ ，没有生成器存在。选择 $ s $ 使得与 $ 0 $ 开始。

一个采样器，它设置 $ x $ 到 $ 1 $ 和输出它始终生成 $ s $ 中的一个元素，并完全生成 $ \ frac {2} {3} $ $ s $ 。

中的元素 但是，从 $ s $ 中的补码中采样甚至比您所需要的更难：存在 $ s $ 使得没有给定 $ n，x= 0 ^ {n} $ 作为输入输出 $ s $ 长度 $ n $ 以 $ 1 $ 。此外，我们可以明确构建这样的集合 $ s $ 。

这很容易被对角度参数证明。让 $ k_ {w，n} $ 是长度 $ n $ 以< SPAN Class=“math-container”> $ w $ 。有一个可数数量的图灵机，所以让 $ m_ {i} $ 是 $ i $ TH TITULE机器。 for $ n \ geq 2 $ ，如果 $ m_ {n-1} $ 在输入 $ n，x= 0 ^ {n} $ 不停止或输出 $ k_ {00，n} $ < / span>，set $ s_ {n}= k_ {1，n} \ cup k_ {00，n} $ 。否则设置 $ s_ {n}= k_ {1，n} \ cup k_ {01，n} $ 。然后 $ s={\ epsilon，1 \} \ cup \ bigcup_ {i= 2} ^ {\ infty} s_ {i} $ 是一个这样的集合。