Set, das leicht probieren kann, aber von seiner Ergänzung schwer zu probieren

Question

Angesichts eines Satzes $ S \ Subseteq \ {0,1 \} ^ * $ , der Algorithmus $ A $ ist ein Generator für $ s $ , falls vorhanden, $ N $ Zufällige Bits $ x \ in \ {0,1 \} ^ n $ , $ A $ Erzeugt ein Element von $ S $ Größe $ N $ , und $ A $ kann mindestens $ \ FRAC {2} {3} $ Mitglieder von $ s $ der Größe generieren $ N $ (für alle $ N $ ). $ A $ muss nicht einheitlich sein.

Gibt es einen Set $ S $ so, dass es einen effizienten Algorithmus- $ A $ gibt Für alle $ N $ , $ A $ Erzeugt mindestens $ \ frac {2} {3} $ Mitglieder von $ s $ (Größe $ N $ < / span>), aber jeder effiziente Algorithmus für $ s ^ C $ kann nur höchstens $ \ frac {1} generieren {3} $ Elemente von $ s ^ C $ Größe $ n $ (unter Komplexität asuptions)?

Answer 1

wir können $ S $ so konstruieren, dass Polynom-Zeitgeneratoren für $ A $ existieren, während Kein Generator existiert für $ s ^ {c} $ . Wählen Sie $ s $ so, dass alle Zeichenfolgen, die mit $ 1 $ in IT, und genau die Hälfte aller Saiten sind Beginnend mit $ 0 $ sind darin.

ein Sampler, der das erste Bit von $ x $ auf $ 1 $ $ und -ausgänge erstellt, erzeugt es immer Ein Element in $ s $ und generiert genau $ \ frac {2} {3} $ von Elemente in $ s $ .

Die Probenahme aus dem Komplement von $ s $ im allgemeinen Fall ist noch schwieriger als Sie erforderlich: Gibt es Sätze $ S $ so, dass keine Turing-Maschine vorhanden ist, die $ n, x= 0 ^ {n} $ als Eingang existiert, beliebige Zeichenfolge in $ s $ von länge $ N $ Start mit $ 1 $ . Darüber hinaus können wir einen solchen Set $ s $ erstellen.

Dies ist leicht, um ein Diagonalisierungsargument zu beweisen. Lassen Sie $ k_ {w, n} $ Seien Sie der Set von Saiten der Länge $ n $ beginnend mit < Span-Klasse="Math-Container"> $ W $ . Es gibt eine zählbare Anzahl von Turing-Maschinen, also lassen Sie $ m_ {i} $ die $ i $ sein th Turing Machine. Für $ n \ geq 2 $ , wenn $ m_ {n-1} $ bei input $ n, x= 0 ^ {n} $ hält keine Zeichenfolge in $ k_ {00, n} $ < / span>, Set $ s_ {n}= k_ {1, n} \ cup k_ {00, n} $ . Ansonsten setzen Sie $ s_ {n}= k_ {1, n} \ cup k_ {01, n} $ . Dann $ s={\ Epsilon, 1 \ \ \ \ cup \ bigcup_ {i= 2} ^ {\ fly} s_ {i} $ ist ein solches Set.