Définir qui est facile à échantillonner, mais difficile à échantillonner de son complément

Question

donné un ensemble $ s \ sous -éréq \ {0,1 \} ^ * $ , l'algorithme $ a $ a $ est un générateur pour $ s $ si donné $ n $ bits aléatoires $ x \ \ \ \ {0,1 \} ^ n $ , $ A $ génère un élément de $ S $ de taille $ N $ et $ A $ A $ peut générer au moins $ \ frac {2} {3} {3} $ membres de $ S $ de taille $ n $ (pour tous $ n $ ). $ a $ ne doit pas nécessairement être uniforme.

y a-t-il un jeu $ s $ de telle qu'il existe un algorithme efficace $ a $ tel que Pour tous $ N $ , $ A $ génère au moins $ \ frac {2} {3} $ membres de $ S $ (de taille $ n $ < / span>), mais tout algorithme efficace pour $ s ^ c $ ne peut que générer au plus $ \ frac {1} {3} $ éléments de $ s ^ c $ de taille $ n $ (sous Asuissance de la complexité)?

Answer 1

Nous pouvons construire $ s $ telle que ces générateurs de temps polynomial pour $ a $ tandis que Aucun générateur n'existe pour $ s ^ {c} $ . Choisir $ s $ tel que toutes les chaînes commençant par $ 1 $ y sont, et exactement la moitié des cordes En commençant par $ $ 0 $ Y a-t-il.

un échantillonneur qui définit le premier bit de $ x $ à $ 1 $ et les sorties génèrent toujours un élément en $ s $ et génère exactement $ \ frac {2} {3} $ {3} $> de la éléments dans $ s $ .

Cependant, l'échantillonnage du complément de $ S $ dans le cas général est encore plus difficile que nécessaire: il existe des ensembles $ S $ de telle qu'il existe une machine à tanguer qui donnait la machine $ n, x= 0 ^ {n} $ comme entrée sortit une chaîne de la chaîne dans $ S $ de longueur $ n $ commence par $ 1 $ . De plus, nous pouvons construire explicitement un tel ensemble $ s $ .

Ceci est facile à prouver par un argument de la diagonalisation. Laissez $ k_ {w, n} $ Soyez l'ensemble des chaînes de longueur $ n $ commençant par < Span Classe="Conteneur mathématique"> $ w $ . Il existe un nombre dénombrable de machines de Turing, alors laissez $ m_ {i} $ $ être la $ i $ la machine Turing. Pour $ n \ geq 2 $ , si $ m_ {n-1} $ en entrée $ n, x= 0 ^ {n} $ ne ferme pas ou génère une chaîne dans $ k_ {00, n} $ < / SPAN>, définissez $ s_ {n}= k_ {1, n} \ tasse k_ {00, n} $ . Sinon réglé $ s_ {n}= k_ {1, n} \ tasse k_ {01, n} $ . Ensuite, $ s={\ epsilon, 1 \ {\ epsilon, 1 \ {\ epsilon \ bigcup_ {i= 2} ^ {\ \} {i} $ est un tel ensemble.