使用2SAT表示蕴涵图必须具有循环，如果它不满足

Question

使用2SAT和含义图，如何证明含义图的属性：

假设在G_φ中有文字L1和L2之间存在定向路径。然后在它们的补充之间存在一条定向的路径。然后，存在τ，满足φ的真理分配，其中τ（l1）为true，则τ（l2）也必须是真的。

使用此，显示φ是不匹配的<=>在g_φ中包含一些定向周期，包含变量x及其补充。

其中g_φ是含有n个变量的2秒的式φ的定向含义图。因此，对于φ的每个可能的文字中的每个可能的文字，每个条款（L1≥L2）中的每个可能的文字的两个顶点有一个顶点。

我的第一个直觉是一个通过矛盾的证据，但我未能建设一般的假设。然后，我试图展示如果真实分配意味着l1和l2是真的，那么通过构建连接所有变量的循环，当存在这些边缘时，分配仅有效。然而，这似乎不足以够严格，因为我没有正确了解为什么周期需要补充X X存在。

目前我通过为每个变量x添加顶点来构建g，也是补充。然后，对于每个条款（a v b），我在不是a和b之间的边缘添加边缘，而不是b和a。

然而，我没有看到它如何专门形成一个周期。

啜饮教科书的工作。

Answer 1

这是一个证明草图。我们将显示给定的公式是不可挑离的IFF，其中包含一个包含 $ x $ 和 $ \ lnot x $ < / span>，对于某些变量 $ x $ 。

首先，首先存在包含 $ x $ 和 $ \ lnot x $ 的循环。 path $ x \ to ^ * y $ 在逻辑图中的存在意味着，在满意的分配中，如果 $ x $ 保持此外， $ y $ （您可以通过诱导路径的长度来证明它）。由于有一个包含 $ x $ 和 $ \ lnot x $ 的循环，因此有路径 $ x \ to ^ * \ lnot x $ 和 $ \ lnot x \ to ^ * x $ 。在任何令人满意的分配中， $ x $ 或 $ \ lnot x $ 保持，两种情况都会导致矛盾。

假设下次没有包含 $ x $ 和 $ \ lnot x $ 的循环。我们将构建如下令人满意的作业。选择一些变量 $ x $ 。如果有路径 $ x \ to ^ * \ lnot x $ ，则分配 $ x= f $ ，以及每个文字 $ \ ell $ ，使得 $ \ lnot x \ to ^ * \ ell $ ，将值分配给底层变量，使 $ \ ell $ true。您无法分配相同的变量两种不同的真相值，因为如果 $ \ lnot x \ to ^ * y $ 和 $ \ lnot x \ to ^ * \ lnot y $ 那么也也是 $ y \ to ^ * x $ 等 $ \ lnot x \ to ^ * x $ ，完成一个涉及 $ x $ 和 $ \ lnot x $ 。

如果存在路径 $ \ lnot x \ to ^ * x $ ，则分配 $ x= t $ < / span>，并类似地继续。

如果不存在这些路径，则任意分配 $ x $ ，并继续如之前继续。由于以下原因，这不能导致矛盾。假设我们分配 $ x= f $ ，并且有路径 $ x \ to ^ * y $ $ x \ to ^ * \ lnot y $ 。然后还有一个路径 $ y \ to ^ * \ lnot x $ 等路径 $ x \ to ^ * \ lnot x $ ，与假设存在两个路径的假设。

如果在此过程之后，剩下一些未分配的变量，选择其中一个，然后重复，直到分配涵盖所有变量。