2SAT를 사용하여 함축 그래프가 만족스럽지 않으면 사이클이 있어야 함을 보여줍니다.

Question

2SAT 및 함의 그래프를 사용하여, 다음과 같은 함축 그래프의 다음 속성을 어떻게 증명할 수 있습니까?

G_φ에서 리터럴 L1과 L2 사이의 지향 경로가 있다고 가정합니다. 그런 다음 보완물 사이에 지시 된 경로가 있습니다. 그런 다음 τ는 τ (l1)가 사실 인 Φ를 만족시키는 진리 할당이 있으며 τ (l2)도 사실이어야합니다.

이를 사용하여 φ가 불안정한 <=> 변수 x와 그 보체가 들어있는 G_φ에서 약간의 지시 사이클이 있음을 보여줍니다.

여기서, G_φ는 N 변수를 갖는 화학식 φ를 함유하는 2SAT의 지향 함의 그래프이다. 따라서 φ에서 가능한 모든 문자 적으로 가능한 모든 문자 적으로 하나의 정점과 φ에서 모든 절에 대한 가장자리 (L1, L2) 및 (L2, L1이 아님)

나의 첫 번째 직감은 모순에 의한 증거 였지만 충분한 가정을 구성하지 못했습니다. 그런 다음 진실 할당이 L1과 L2가 사실임을 의미하는 경우 모든 변수를 연결하는 사이클을 구축함으로써 할당은 해당 가장자리가 존재할 때만 유효합니다. 그러나 이것은주기가 X가 존재하는 것에 대한 보수가 필요한 이유를 제대로 이해하지 못한 이유 때문에 엄격한 것처럼 보이지 않습니다.

현재 모든 변수 X에 대한 정점을 추가하여 G를 구축하고 보완합니다. 그런 다음 각 절 (a v b)에 대해 A와 B가 아닌 b와 a가 아닌 가장자리를 추가합니다.

그러나 이것이 특별히주기를 구체적으로 형성하는 방법을 보지 못합니다.

Sipser 교과서의 작동.

Answer 1

여기는 증거 스케치입니다. 우리는 주어진 공식이 $ x $ 및 $ \ lnot x $ < / span>, 일부 변수 $ x $ .

$ x $ 및 $ \ lnot x $ 을 모두 포함하는주기가 처음 있다고 가정합니다. 경로 $ x \ ~ ^ * y $ x \ * y $ 은 만족스러운 과제에서 $ x $ 은 $ y $ (경로 길이에 대한 유도로 증명할 수 있습니다). $ x $ 및 $ \ lnot x $ 모두 포함 된 사이클이 있기 때문에 경로가 있습니다 $ x \ ~ ^ * \ lnot x $ 및 $ \ lnot x \ ^ * x $ . 만족스러운 할당에서 $ x $ 또는 $ \ lnot x $ 모두 보유하고 두 경우 모두 모순.

$ x $ 및 $ \ lnot x $ 모두가 포함 된주기가 없음을 가정합니다. 우리는 다음과 같이 만족스러운 과제를 구성 할 것입니다. 일부 변수 $ x $ 을 선택하십시오. PATH $ x \ * \ lnot x $ , $ x= f $ 및 각 리터럴 $ \ ell $ (예 : $ \ lnot x \ ^ * \ ell $ $ \ ell $ true를 만드는 기본 변수에 값을 할당합니다. $ \ lnot x \ * y $ 및 $ $ \ lnot x \ ^ * \ lnot y $ 또한 $ y \ ~ ^ x $ 등 $ \ lnot x \ * x $ , $ x $ 및 $ \ lnot x $ .

경로 $ \ lnot x \ ^ * x $ , $ x= t $ < / span>, 그리고 유사하게 계속하십시오.

이러한 경로가 존재하지 않으면 $ x $ 을 임의로 할당하고 이전처럼 계속하십시오. 이는 다음과 같은 이유로 모순 될 수는 없습니다. $ x= f $ 을 할당하고 경로 $ x \ ^ * y $ 및 $ x ~ ^ * \ lnot y $ . 그런 다음 경로 $ y \ ~ ^ * \ lnot x $ 경로 $ x to ^ * \ lnot x $ , 두 경로가 존재하지 않는 가정을 모순합니다.

이 프로세스가있는 경우 일부 할당되지 않은 변수가 남아있는 경우 지정 중 하나를 선택하고 할당이 모든 변수를 덮을 때까지 반복합니다.