饱和套在二分形图中

Question

let $ g=（x \ cup y，e）$ 是一个未加权的二分图。我们得到了每个<跨度类=“math-container”> $ w \ subseteq x $ 它保存了 $ | w | \ leq | n（w） | $ ，其中 $ n（w）$ 是 $的邻居 w $ $ y $ （又名婚姻状况）。

我的目标是找到一个子集 $ w ^ * \ subseteq x $ with $ | w ^ * |= | n（w ^ *）| $ ，如果存在这样的子集（显然需要不存在）。由于我不知道这个属性的正式名称，因此我将引用这样的 $ w ^ * $ 作为饱和设置。

问题：

1. 这个属性是广为人知的？它有不同的名称吗？
2. 假设婚姻状况持有，表明每套饱和联盟也饱和。一个有趣的问题是找到最大饱和集。我用runtime $ o（| v | \ cdot | e |）$ ，但我怀疑它可以甚至更快解决。任何想法？
据称，弱易于解决的问题是找到饱和集合，不一定是最大的饱和集（再次，假设婚姻状况持有）。我们可以在 $ o（| v | \ cdot | e |）$ ？更快地解决这个问题

---

编辑： 这是我提到的算法的草图：假设婚姻条件适用于 $ g $ 。然后，如上所述，我们可以表明我们可以表明

lemma：让 $ g $ 是一个满足婚姻状况的二分图。然后，每个饱和组联盟也饱和。

LEMMA表明存在独特的最大饱和集。因此，问题可以不同地说明：

给定节点 $ x \ in x $ ，确定它是否参与饱和集或不。

如果答案是肯定的，那么它也参与最大饱和集。伪算法如下：

1. 运行 hopcroft-karp 算法找到最大匹配 $ m $ ，C包括 $ x $ $ o（ \ sqrt {| v |} | e |）$ 时间。由于婚姻状况，这种匹配存在。
2. 对于每个节点 $ x \ in x $ ，
   • 临时添加节点 $ x'$ 到 $ x $ ，它连接到每个邻居 $ x $ 。调用图表我们获取 $ g_x $ 。
   • 注意： $ m $ 是 $ g_x $ 几乎是最大的部分匹配（向上到一个边缘）;因此，我们可以找到一个最大匹配 $ m_x $ ，用于通过查找增强路径 $ g_x $ SPAN Class=“math-container”> $ g_x $ ，在 $ o（| v | + | e |）$ 时间（相同的细节Hopcroft-Karp）。
   • 如果 $ | m | <| m_x |，$ 继续。否则，如果 $ | m |= | m_x | $ ，将 $ x $ 到返回的集合。

分析从第一个原则遵循。如果存在任何饱和set $ w \ subseteq x $ with $ x \中的w $ ，即 $ | w |= | n_g（w）| $ 然后 $$ | W \ CUP \ {x'} |= | W | +1= | N_G（W）| + 1= | N_ {G_X}（W）| +1， $$ 所以 $ w \ cup \ {x'\} $ 违反 $ g_x $ 中的婚姻条件。因此， $ | m |= | m_x | $ 。我们可以类似地表明，如果 $ x $ 不参加任何饱和集，那么 $ | m_x |= | m | +1 $ 。

Answer 1

让我们修复一个最大匹配 $ m $ 。让 $ z \ subseteq y $ 是与 $ x $ 中的节点不匹配的节点集。我们可以看到一个节点 $ x \ in x $ 属于饱和设置，如果且仅当不存在 $ x $ 到 $ z $ ，即路径 $ xy_1x_1 \ cdots y_kx_kz $ 其中 $（x_i，y_i）\以m $ 和 $ z \ in z $ （证明类似于算法的正确证明）。

因此，您可以向 $ e $ 中的所有边缘添加指示，使得 $ m $ 中的边缘具有 $ x $ 到 $ y $ 的方向，而不是 $ M $ 从 $ y $ 到 $ x $ ，然后 $ x $ 中的节点无法从 $ z $ 构成最大值的任何节点饱和套装。您可以运行一个简单的bfs来查看 $ x $ 中的哪些节点可以从 $ z $ 中的节点。时间复杂性是 $ o lex（\ sqrt {| v |} | e | \右）$ 。