Насыщенные наборы в двустороннем графике

Question

Пусть $ g= (x \ cup y, e) $ - невзвешеный двусторонний график. Нам дают, что для каждого $ W \ SOUNTED X $ он содержит, что $ | w | \ leq | n (w) | $ , где $ n (W) $ - соседние math-continer "> $ W $ в $ y $ (состояние брака зала Hall).

Моя цель - найти подмножество $ W ^ * \ \ subsEtq x $ с $ | W ^ * |= | N (w ^ *) | $ , если такое подмножество существует (очевидно, не нужно существовать). Поскольку я не знаю о формальном имени для этого свойства, я бы ссылался на такой $ w ^ * $ в качестве насыщенного насыщенного набора .

Вопросы:

1. Это свойство широко известно? У него есть другое имя?
2. Предполагая, что состояние брака удерживает, это просто, чтобы показать, что каждый союз насыщенных наборов также насыщен. Одна интересная проблема - найти максимальный насыщенный набор. Ниже описываю несколько наивных растворов с временем выполнения $ O (| V | \ Cdot | E |) $ , но я подозреваю, что его можно решить еще быстрее. Любая идея?
3. Якобы, слабообесная проблема - найти насыщенный набор , не обязательно максимальный (опять же, при условии, что удерживает состояние брака). Можем ли мы решить эту проблему быстрее, чем $ o (| v | \ cdot | e |) $ ?

---

<Сильные> Редактировать: Вот эскиз для алгоритма, который я упомянул выше: предположим, что состояние брака проводится для $ g $ . Тогда, как сказано, с битовой теорией работы мы можем показать, что

Лемма: Пусть $ G $ Bipartite Graph, удовлетворяющий состояние брака. Затем каждый союз насыщенных наборов также насыщен.

Лемма предполагает, что существует уникальный максимальный насыщенный насыщенный насыщенный. Следовательно, вопрос может быть указан по-разному:

Узел узел $ x \ in x $ определите, участвует ли он в насыщенном наборе или нет .

Если ответ да, то он также участвует в максимальном насыщенном наборе. Псевдоалгоритм проходит следующим образом:

1. запустить hopcroft-karp алгоритм, чтобы найти максимальное соответствие $ m $ , который охватывает $ x $ в $ O ( \ sqrt {| v |} | e |) $ time. Такое совпадение существует из-за состояния брака.
2. для каждого узла $ x \ in x $ ,
   .
   • временно добавить узел $ x '$ на $ x $ , который подключен к каждому соседу $ x $ . Позвоните на график, мы получаем $ G_X $ .
   • Обратите внимание, что $ m $ - это частичное совпадение $ g_x $ , который почти максимален (вверх на один край); Таким образом, мы можем найти максимальное соответствие $ m_x $ для $ G_X $ , найдя путь дополнения в < Spaness Class="Math-Container"> $ g_x $ , в $ O (| V | + | E |) $ Time (такие же детали, как в Hopcroft-karp).
   • Если $ | m | <| m_x |, $ продолжаются. Иначе, если $ | m |= | m_x | $ , добавьте $ x $ на возвращенный набор.

Анализ следует из первых принципов. Если существует любой насыщенный набор $ W \ subsEtq x $ с $ x \ in whn $ , т.е. $ | w |= | n_g (w) | $ затем $$ | W \ cub \ {x '\} |= | w | +1= | n_g (w) | + 1= | n_ {g_x} (w) | +1, $$ Таким образом, $ W \ CUP \ {x '\} $ нарушает состояние брака в $ g_x $ . Следовательно, $ | m |= | m_x | $ . Мы можем аналогично показать, что если $ x $ не участвует в каком-либо насыщенном наборе, то $ | m_x |= | m | +1 $ .

Answer 1

Давайте исправим максимальное соответствие $ m $ . Пусть $ z \ subseTy y $ Будьте набор узлов, которые не совпадают с узлами в $ x $ Отказ Мы видим узел $ x \ in x $ принадлежит насыщенному набору, если и только если не существует переменного пути от $ z $ , т. Е. Путь $ xy_1x_1 \ cdots y_kx_kz $ где $ (x_i, y_i) \ in m $ и $ z \ in z $ (Доказательство похоже на доказательство правильности вашего алгоритма).

Итак, вы можете добавить направления для всех ребер в $ e $ таким, что кромки в $ m $ Имейте направление от $ x $ на $ y $ пока ребра не в $ m $ есть направление от $ y $ на $ x $ , Затем узлы в $ x $ которые не достижимы с любого узла в $ z $ составляют максимальный Насыщенный набор. Вы можете запустить простые BFS, чтобы увидеть, какие узлы в $ x $ достижимы от узлов в $ Z $ Отказ Сложность времени составляет $ O \ Left (\ SQRT {| V |} | e | \ vant) $ .