独特的3SAT到独特的1-In-3SAT

Question

假设我有一个CNF公式，带有大小2和3的子句。它具有唯一的令人满意的分配。

它是由二进制乘法电路制成的，其中我乘以两个primes数字a和b，使得一个* b= s，其中s是半峰数。我添加了一个！= 1，b！= 1和<= b的条件，然后将s的值添加到公式确保赋值是唯一的。满足公式的唯一方法是以正确的顺序在输入比特中放置Primes A和B的值。

在3股，我们强制在每个三联网中确切的一个文字应该是真的，另外两个是真的。如果完全是2个文字，我们可以翻转子句中的所有景观，以获得等效的1-3SAT子句（换句话说，2-In-3SAT是相同的问题）。

基本观察：虽然常规或子句消除了1个可能性，但在8中的一个可能的情况下消除了5个中的5个可能性。

3SAT可以减少到3 in-3饱和，使得如果3SAT配方是满足的，则缩小的公式是如此。

但是，通过引入新变量而不强调其值，延迟似乎似乎不会保留分配的数量。

可以将独特的3SAT减少到唯一的1-In-3SAT ...

1. 不知道正确的作业？
2. 如果没有，同时知道正确的作业？

Answer 1

是，一个3-sat公式 $ \ phi $ 可以转换为1个in-3 sat公式 $ \ phi' $ ，同时保留令人满意的作业的数量。为避免歧义，我将在三个星期三子句的文字之间使用“ $ \ vee $ ”。<1/3个星期六的文字之间的逗号。< / p>

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让我初步表明，给定两个文字 $ a $ 和 $ b $ ，我们可以模拟新类型的子句 $（x= a \ wedge b）$ ，它强制为新变量 $ x的值$ 是 $ a \ wedge b $ 使用仅为3个星期六的SAT约束，而不引入任何新的解决方案。

考虑cluases： $$ （\ ovline {b}，c，x）\ wedge （a，c，d）\ wedge （\ ovline {a}，e，x）\ wedge （b，e，f） $$

如果 $ a=top $ ，以及 $ b=top $ ，那么2nd和第4个条款确保 $ c= d= e= f=bot $ 。然后，第一个和第3条的条款确保 $ x=top $ 。

如果 $ a=top $ ，以及 $ b=bot $ ，那么第二个子句可确保 $ c= d=bot $ 。然后，第一个子句确保 $ x=bot $ 。 第三个子句可确保 $ e=top $ ，第4个子句暗示 $ f=bot $ 。

案例 $ a=bot $ ， $ b=top $ 是对称的。

如果 $ a=bot $ 和 $ b=bot $ ，那么第一个和第三条款意味着 $ c= e= x=bot $ 。 第2和第4个条款确保 $ d= f=top $ 。

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我现在准备好转换公式 $ \ phi $ 3sat到公式 $ \ phi' $ < / span> 1-in-3坐。 现在考虑一个子句 $（a \ vee b \ vee c）$ $ \ phi $ 。这可以转换为以下等效的1 in-3坐立的条款：

• 添加新变量 $ x $ 真实的iff $ a $ 是假的 $ b $ 是真的。这由子句 $（x=overline {a} \ wedge b）$ 。

• 添加一个新变量 $ y $ true iff $ a $ 是假的， $ b $ 是false，而 $ c $ 是真的。我们需要一个额外的变量 $ z $ 。 the子句 $（z=overline {a} \ wedge \ ovline {b}）$ 可确保 $ z $ < / span>只有 $ a $ 为false， $ b $ 是假的。然后， $（y= z \ wedge c）$ $ y $ 的值。跨度>。

• 如果 $（a \ vee b \ vee c）$ 为true，则至少一个 $ $ ， $ b $ ，或 $ c $ 是真的。这意味着恰好 $ a $ ， $ x $ ，以及 $ y $ 是真的。在交谈中，如果 $（a \ vee b \ vee c）$ 是false，那么在所有 $ a $ ， $ x $ ， $ y $ 是假的。这表明<跨度类=“math-container”> $（a \ vee b \ vee c）$ 才能满足，如果 $（a，x， Y $ ）是满足的。

我们已构建等效的1 in-3 sat公式 $ \ phi' $ ，它使用原始3 sat公式 $ \ phi $ 。 $ \ phi' $ 满足 $ \ phi' $ ，如果且仅当赋值限于 $ \ phi $ 满足 $ \ phi $ 。 因此，如果引入了 $ \ phi' $ 的任何新解决方案，则必须是因为新添加的变量 $ x $

n>， $ y $ ， $ z $ （每个子句的一个设置）。但是，这些变量的值完全由 $ \ phi $ 的变量的值来确定。

Answer 2

在RégisBarbanchon的附录B中描述了这种还原，在唯一的图表3-平面中的可明显性和解析减少。Barbanchon将其归结为之前的工作（参考书目中[9]）。在其他地方，我已经看到了舍甫佛队的庆祝论文的归属，他证明了他着名的二分法定理，其中包括从3SAT到1-In-3SAT的减少，这据说有解释（我没有检查）。